在 ３＋１ 維 中 就 是 ＢＯＸ （ ｄ／ｄｔ ） （ ｄ／ｄｘ ） （ ｄ／ｄｙ ） （ ｄ／ｄｚ ） ． 不同 的 是 ， 在 ｔａｃｈｙｏｎｓ 中 ｍ 是 ＊ 負 的 ＊ ， 且 ｍ 是 虛數 。 為 了 稍稍 簡化 數學 ， 讓 我們 在 ｘ 和 ｔ 為 座標 的 １＋１ 維 空間 中 處理 。 所以 ＢＯＸ （ ｄ／ｄｔ ） （ ｄ／ｄｘ ） 接下來 所 說 的 都 可以 推廣到 ３＋１ 維 的 真實 世界 中 。 現在 ， 無論 ｍ 為 何 ， 任何 解 都 是 下列 形式 的 線性 組合 ， 或是 說 疊加 。 ｐｈｉ （ ｔ ， ｘ ） （ －ｉＥｔ＋ｉｐｘ ） 此 處 Ｅ ． 當 ｍ 是 負數 時 ， 有 兩 種 本質 上 不同 的 狀況 。 當 ， Ｅ 為 實數 ， 得到 波 的 行進 速度 為 ， 至少 跟 光 一樣 快 。 當 ， 在 這 種 情況 下 Ｅ 是 虛數 ， 我們 得到 一 個 隨 時間 增加 振幅 的 解 ！ 我們 可以 決定 要 不 要 第二 種 狀況 ， 這 看起來 有些 詭異 ， 但是 更 詭異 的 事 還 在 後頭 。 １ 如果 我們 ＊ 真的 ＊ 允許 第二 種 解 ， 我們 可以 在 任何 適當 的 起始 條件 下 解出 Ｋｌｅｉｎ－Ｇｏｒｄｏｎ 方程 。 所謂 起始 條件 就 是 ｔ 時 ， 波 函數 ｐｈｉ 及 其 一 次 導數 的 數值 。 （ 至於 什麼 是 適當 的 ， 可以 問 你 附近 的 數學 。 ） 這 是 一 個 典型 的 波 函數 ， 而且 是 一 個 典型 的 波 方程 ， 我們 可以 證明 下面 的 事實 ： 如果 解 ｐｈｉ 在 ｔ 時 其 值 與 其 一 次 微分 在 （ －Ｌ ， Ｌ ） 區間 外 皆 為 零 ， 則 在 任何 時間 ｔ ， 波 函數 在 區間 （ －Ｌ－ ， Ｌ＋ ） 外 的 值 總是 為 零 。 換句話說 ， 局域性 的 分佈 並 不會 以 超過 光速 的 速度 散開 。 這 好像 違背 了 我們 將 超光速 粒子 命名為 ｔａｃｈｙｏｎ 的 目的 ， 但是 這 是 一 個 數學 上 的 事實 ， 就 是 所謂 的 單位 傳播 速度 （ ｕｎｉｔｐｒｏｐａｇａｔｉｏｎｖｅｌｏｃｉｔｙ ） 。 ２ 如果 我們 ＊ 不 允許 ＊ 第二 種 解 的 存在 ， 則 我們 不能 由 任何 適當 的 起始 條件 得到 Ｋｌｅｉｎ－Ｇｏｒｄｏｎ 方程 的 解 ， 只 能 由 那些 經過 Ｆｏｕｒｉｅｒ 轉換 後 在 （ － ， ） 區間 為 零 的 起始 條件 得到 解 。 由 Ｐａｌｅｙ－Ｗｉｅｎｅｒ 理論 ， 得到 一 個 奇怪 的 結論 ： 當 起始 條件 在 區間 （ －Ｌ ， Ｌ ） 外 為 零 時 ， 不可能 得到 方程 的 解 。 換句話說 ， 我們 不再 能夠 在 一 開始 將 ｔａｃｈｙｏｎ 侷限 在 有 界 的 區間 中 ， 所以 想要 決定 是否 存在 ｐａｒｔ１ （ 中 明確 意思 的 單位 傳播 速度 （ ｕｎｉｔｐｒｏｐａｇａｔｉｏｎｖｅｌｏｃｉｔｙ ） 是 不 可能 的 。 當然 ， 波 ｅｘｐ （ －ｉＥｔ＋ｉｐｘ ） 仍 是 以 超光速 前進 ， 但是 這些 波 最 開始 時 是 不能 被 侷限住 的 。 重點 就 是 你 不能 用 ｔａｃｈｙｏｎｓ 以 超光速 將 訊息 從 一 處 傳到 另 一 處 。 想要 達到 這樣 的 目的 ， 則 必須 將 訊息 編碼成 侷限 的 ｔａｃｈｙｏｎｓ 場 ， 然後 以 超光速 將 它 送到 指定 的 接收器 上 。 但是 ， 如同 我們 已 看到 的 ， 你 不可能 同時 達到 兩 件 事 －－ 侷限 的 ｔａｃｈｙｏｎｓ 分佈 是 次 光速 的 而 超光速 的 分佈 卻 是 非 侷限 的 。 在 特殊 情況 下 ， 是 的 ． 在 一般 的 情況 下 －－－ 則 看 你 所謂 「 能量 」 指 的 是 什麼 東西 ， 還有 所謂 「 守恆 」 又 是 什麼 ． 在 平坦 時空 （ 狹義 相對論 的 背景 ） 有 兩 種 方式 來 說 能量 守恆 ： 一 種 是 一 個 微分 方程 ， 一 種 是 一 個 包含 積分 的 方程 （ 底下 會 說明 細節 ） ． 這 兩 種 形式 在 數學 上 是 等價 的 ． 但是 當 你 試圖 將 它 推廣到 彎曲 時空 （ 廣義 相對論 的 舞台 ） 這 種 等價性 就 破壞 了 ． 微分 的 形式 一聲不吭 的 就 被 推廣 了 ； 積分 的 形式 則 不然 ． 微分 的 形式 說 ， 簡單 講 ， 就 是 在 任何 無限 小 的 時空 範圍 內 ， 沒有 能量 會 無中生有 ． 積分 形式 說 的 是 同 一 件 事 －－ 對 有限 的 時空 區域 ． （ 這 可能 讓 你 想起 靜電學 中 高斯 定律 的 「 散度 」 （ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ） 形式 和 「 通量 」 （ ｆｌｕｘ ） 形式 ， 或是 流體 中 的 連續性 方程式