是 等價 的 ： 方程式 （ ２ ） ： （ 只 在 平坦 的 Ｍｉｎｋｏｗｓｋｉ 時空 中 ， 使用 Ｍｉｎｋｏｗｓｋｉ 座標 時 成立 ） ｃｏｏｒｄ （ Ｔ ） （ ｐａｒｔｉａｌＴ／ｐａｒｔｉａｌｘ ） 這裡 我們 用 表示 散度 （ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ） ， 因為 我們 馬上 就 要 遇到 另 一 種 ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ． 證明 ？ 就 像 高斯 定理 ： 如果 散度 在 整 個 超體積 中 都 是 零 ， 則 通過 邊界 的 通量 也 必 是 零 ． 另一方面 ， 通過 一 個 無限 小 超體積 的 通量 就 是 散 乘上 超體積 的 測度 （ ｍｅａｓｕｒｅ ） ． （ 譯 按 ： 高斯 定理 ： 通過 體積 邊界 的 通量 等於 散度 在 整 個 體積 的 積分 ） 現在 來 看看 一般 滿足 愛因司坦 場 方程 的 時空 ． 要 推廣 能量 － 動量 守恆 的 微分 形式 ， 即 方程式 （ ２ ） ， 是 很 容易 的 ： 方程式 （ ３ ） ： （ 在 任何 廣義 相對論 的 座標系 都 正確 ） ｃｏｖａｒｉａｎｔ （ Ｔ ） （ Ｔ ） （ 其中 ｎａｂｌａ 協變 微分 ） （ 譯 按 ： ｎａｂｌａ 就 是 那 個 倒三角 符號 的 讀音 ） （ 按 ： 在 ＊ 狹義 相對論 ＊ 中 方程式 （ ３ ） 是 方程式 （ １ ） 在 ＊ 非 Ｍｉｎｋｏｗｓｋｉ 座標系 ＊ 中 正確 的 推廣 形式 ） ） 譯 按 ： 他 的 意思 是 說 只 有 在 平坦 時空 中 ， 方程式 （ ３ ） 跟 方程式 （ １ ） （ 也 就 是 積分 形式 ） 才 是 等價 的 ， 因為 此時 （ ３ ） 是 （ ２ ） 的 一般 形式 ． 正 如 普通 三 維 歐氏 空間 中 散度 的 定義 也 有 （ ２ ） 和 （ ３ ） 兩 種 形式 ， 而 （ ２ ） 只 在 直角 座標系 成立 ， （ ３ ） 則 是 所有 座標系 都 成立 ． ） 廣義 相對論 非常 倚重 協變 微分 的 使用 ， 因為 一 個 張量 的 協變 微分 仍 是 張量 ， 而 正 如 我們 所 見到 的 ， 廣義 相對論 就 愛 張量 ． 方程式 （ ３ ） 是 從 愛因司坦 場 方程 來 的 ． （ 因為 某 個 叫 Ｂｉａｎｃｈｉ 恆等式 的 東西 說 ｃｏｖａｒｉａｎｔ （ Ｇ ） ） ． 但 方程式 （ ３ ） 和 方程式 （ １ ） 就 不再 等價 了 ． 為什麼 不 呢 ？ 我們 熟悉 的 高斯 定理 的 形式 （ 從 靜電學 中 得來 ） 應該 對 任何 時空 都 成立 的 ， 因為 大致上 你 就 是 把 一 塊 體積 分割成 很多 無限 小 的 小 塊 ， 然後 把 他們 的 通量 加起來 ． 對 一 塊 無限 小 區域 的 表面 加起來 就 得到 散度 ． 但是 所有 處在 總 體積 內部 的 面 都 沒有 貢獻 ， 因為 從 一 小 塊 流出去 的 通量 都 流進 它 鄰近 的 小 塊 裡 去 了 ． 所以 散度 對 整 個 體積 的 積分 就 等於 通過 體積 表面 的 通量 ． 但是 對於 方程式 （ １ ） 和 （ ３ ） 的 等價性 ， 我們 會 需要 高斯 定理 的 推廣 ． 通過 一 個 面 的 通量 並 不 是 一 個 純 量 ， 而 是 一 個 向量 （ 即 通過 該 面 的 能量 － 動量 ） ． 於是 前面 的 討論 包含 了 對 這些 向量 的 加總 ， 而 這些 向量 是 定義 在 不同 的 時空 點 上 的 ． 這 種 「 不同點 的 向量 比較 」 在 彎曲 時空 中 就 有 麻煩 ． 數學家 發明 了 這 個 問題 的 標準 解法 ， 他 把 它 叫做 「 平行 傳送 」 （ ｐａｒａｌｌｅｌｔｒａｎｓｐｏｒｔ ） ． 要 想像 平行 傳送 是 很 容易 的 ： 就 把 一 個 向量 沿 一 條 路徑 移動 ， 同時 「 盡量 維持 它 的 方向 不變 」 ． （ 自然 ， 在 引號 中 的 敘述 隱藏 了 一些 並 不 簡單 的 數學 ． 但 甚至 一些 有關 廣義 相對論 的 科普 著作 都 能 把 平行 傳送 解釋 得 很 好 ． ） 一 個 向量 的 平行 傳送 跟 路徑 有關 ； 舉 一 個 標準 的 例子 －－ 想像 在 球面 上 傳送 一 個 向量 ． 但是 對 一 個 「 無限 小 距離 」 的 平行 傳送 就 沒有 這 種 問題 ． （ 不 難 看出 這 與 曲率 的 關連 ． ） 要 計算 散度 ， 我們 必須 比較 兩 個 相對 的 面 上 的 量 （ 在 這裡 是 向量 ） ． 用 平行 傳送 來 做 就 得到 協變 散度 （ ｃｏｖａｒｉａｎｔｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ） ． 這 是 可以 定義 的 ， 因為 我們 處理 的 是 無限 小 的 超體積 ． 但是 要 把 有限 超體積 內 的 通量