的 特性 但是 呢 它 卻 在 最高點 的 地方 有 一點 下滑 的 現象 也就是說 它 在 稜線 的 位置 已經 不 是 最 高 的 所以 大概 是 在 下降 大概 五十 到 一百 公尺 的 地方 發現 它 的 碎形 維度 是 最 高 那 當然 我們 希望 說 在 之後 也 可以 透過 模擬 的 方式 把 整 座 山 經過 降雨 的 模式 把 它 模擬出來 希望 也 可以 找到 是 不 是 有 一樣 的 特性 那 如果說 它 的 特性 是 一樣 的話 這樣子 我們 就 可以 證明 我們 在 自然界 看到 的 也 是 跟 我們 模擬 產生出來 結果 是 一樣 的 就 碎形 的 特性 來 說 前面 介紹 的 無窮 結構 以及 碎形 維度 是 必然 的 特性 屬於 比較 抽象 的 層面 一般人 比較 耳熟能詳 的 反而 是 另 一 個 非 必然 的 特性 那 就 是 「 自我 相似 」 或 「 自我 複製 」 這 種 複雜 變化多端 的 碎形 它 往往 具有 說 整體 跟 細微 的 部分 有 一些 相似 的 部分 那 這 個 我們 叫做 「 自我 相似 」 的 碎形 它 是 碎形 裡頭 特別 的 一 種 這 個 大家 比較 熟悉 所以 往往 很多 人 就 說 具有 自我 相似性 的 就 是 碎形 的確 它 也 是 比較 吸引人 的 部分 很多 人 對 碎形 幾何 的 觀念 還是 停留 在 自我 相似性 究竟 什麼 是 自我 相似性 呢 講起來 很 複雜 我們 做 遊戲 就 知道 了 做 中學 同學 這 個 這 個 遊戲 是 什麼 遊戲 這 個 是 碎形 拼圖 這 個 看起來 好像 每 一 片 都 差不多 這 要 怎麼 拼 這裡 的 每 一 塊 都 長 得 一樣 我們 要 利用 它 翻轉 轉動 然後 把 它 拼成 一 個 大 塊 的 然後 那 個 大 塊 的 圖形 也 長 得 跟 這 小 塊 的 一樣 ok 所以 剛剛 講 的 自我 相似 就是說 這 個 小 的 這 一 小 片 然後 拼出來 整 個 大 片 也 是 像 這麼 一 小 片 就 對了 講起來 好像 很 簡單 不過 還 要 翻轉 我們 試試 看好 了 一般 拼圖 都 是 先 拼 邊緣 的 話 如果 這 個 是 這 個 自我 相似 和 空白 看起來 很 簡單 怎麼 弄出來 沒有 辦法 我 實在 是 沒有 辦法 同學 能不能 幫幫忙 拼完 了 耶 帥 呀 奇怪 為什麼 我 拼 那麼 久 都 拼 不 出來 然後 你 這麼 容易 就 把 它 拼出來 到底 有 什麼 祕訣 其實 我 只是 把 它 的 規則 記起來 而已 每 一 片 分成 四 小 份 那 每 一 小 份 都 有 一 個 翻轉 規則 那 我 把 每 一 片 都 按照 它 的 位置 的 翻轉 規則 然後 做 一樣 的 翻轉 然後 在 把 它 放進去 放到 一樣 的 位置 後 四 片 就 又 形成 一 個 比較 大 片 的 然後 再 做 同樣 的 翻轉 規則 ok 進行 翻轉完 之後 呢 就 會 完成 大 片 __UNDEF__ 又 更 大 片 的 所以 你 是 一 片 把 它 分成 四等份 去 拼 它 拼出來 以後 然後 在 用 翻轉 規則 再 把 這 四 片 當成 一 份 再 來 拼 ok ok 所以 從小到大 這樣子 慢慢 的 慢慢 的 堆起來 只要 運用 同樣 的 翻轉 規則 然後 不管 是 什麼 圖案 都 可以 利用 這 個 翻轉 規則 拼出 像 這樣 一樣 的 圖案 太 好 了 那 也 借 我 一 套 我 回去 騙騙 我 的 學生 好 大自然 的 物體 所 呈現 的 都 是 力 與 美 的 結構 樹 更 是 其中 最 為 人 所 熟知 的 例子 樹 具備 碎形 結構 自我 相似性 很 明顯 因此 具備 了 基本 的 形態 美 大自然 的 佳作 顯示 美 的 形態 往往 也 是 力 的 最佳 結構 從 結構 力學 的 角度 來 看 樹 的 本身 就 是 一 種 碎形 結構 我們 可以 看 它 整 棵 看起來 是 一 種 某 一 種 形式 的 結構 但是 我們 仔細 再 走近 去 看 我們 現在 走近 來 看 一下 它 的 樹 的 結構 樹 的 結構 它 本身 就 是 一 種 自我 複製 或是 自我 相似性 我們 可以 看 它 整 棵 樹 的 樣子 跟 我們 從 這邊 把 它 切開 這樣 的 一 部分 看起來 是 同 一 個 結構 我們 如果 進一步 把 它 這裡 切開 它 這 一 部分 的 結構 也 是 延續 了 整 個 大 結構 的 一 個 複製 進一步 如果 你 把 這裡 切開 這 一 小 部分 也 是 的 所以 唯一 我們 看到 這樣 的 碎形 結構 就 是 它 的 不同 的 維度 它 顯示 的 形狀 是 一樣 唯一 的 差異 就 是 尺寸 不 一樣 而已 從 結構 力學 來 觀察 楊 老師 與 學生 發現 樹木 結構 其實 遵循 著 一些 神秘 的 法則 這些 法則 與 樹木 的 生存 策略 有 必然 的 關係 也 是 力 與 美 相互 結合 的 表徵 首先 枝幹 成長 的 長度 是 為 了 取得 吸收 陽光 的 最 大 面積 稱為 「 臨界 長度 」 我們 仔細 來 觀察 樹木 的 結構 它 從 下面 枝幹 比較 粗 往 上 的 話 枝幹 比較 細 粗 的話 它 會 伸 得 比較 遠 有 一 個 臨界 長度 細 的話 它 會 伸 得 比較 近 也 是 有 個 臨界 長度 由 下 而 上 整 個 搭配上來 就 變成 它 接受 陽光 的 一 個 面積 就 底下 會 比較 大 上面 比較 小 整 個 一直 到 樹 頂 就 是 樹冠 的 地方 它 就 變成 這 棵 樹 接受 陽光 的 一 個 最 大 的 一 個 限度 其次 樹幹 樹枝 與 樹葉 構成 絕佳 的 「 消能 」 與 「 傳能 」 機制 我們 想像 一 陣 風 吹過來 的 時候 整 棵 樹 都 會 動 枝幹 會 動 枝幹 動 的 時候 其實 葉子 也 都 會 動 空氣 是 一 種 流體 樹枝 在 空氣 裡面 擺動 的 時候 其實 它 就 把 它 變形 的 能量 轉給 空氣 轉給 空氣 所以 它 擺 兩 下 一 陣 風 來 擺 兩 下 它 就 停 了 很 快 它 就 把 能量 消散掉 把 風 帶來 的 能量 整 個 轉給 空氣 這 個 道理 跟 划龍舟 一樣 槳 在 水 裡 撥來 撥去 龍舟 便 往 前 進 因為 選手 把 他們 的 「 體能 」 經由 槳 的 能量 傳遞 而 轉化成 龍舟 前進 的 「 動能 」 空氣 與 水 一樣 也 是 流體 風吹 樹 風能 便 進入 樹 與 此 同時 樹葉 也 隨 風 搖擺 那些 在 空氣 中 搖擺 的 千百 片 樹葉 就 好比 水 中 划動 的 千百 個 「 槳 」 適時 而 不著痕跡 的 把 風 帶給 樹 的 能量 釋放到 空氣 中 樹木 具備 碎形 的 形態 已經 是 碎形 的 常識 楊永斌 老師 也 帶 著 學生 找出 了 樹木 結構 所 遵循 的 一些 法則 可是 樹木 的 碎形 形態 與 樹木 結構 上 的 力學 究竟 有 什麼 樣 的 關係 楊 老師 說 還 有待 跨 領域 的 合作 來 尋求 解答 我們 即將 看到 這 一 張 圖 呢 非常 像 一 隻 活生生 的 草履蟲 我們 可以 來 比較 一下 這 是 一 個 草履蟲 池塘 裡面 的 草履蟲 這 是 我們 用 程式 畫出來 的 部份 我們 也 可以 去 選擇 這 個 區域 來 看看 它 內部 的 一 個 結構 所以 我們 發現 牠 有 非常 細膩 的 細節 跟 漂亮 的 色彩 可以 讓 這 一 隻 草履蟲 電腦 裡面 的 草履蟲 可以 有 一些 演化 的 過程 所謂 演化 的 過程 就是說 我們 發現 它 裡面 有 一些 流動 或者 是 一些 生長 的 變化 這 一 張 圖 就 更 寫實 了 我們 看到 一 個 像 這樣 的 一 個 非常 活生生 的 一些 變化 一些 鞭毛 的 運動 這 就 是 碎形 生物 形態 的 圖 以上 這些 生物 它 都 只 存在 電腦 裡面 它 是 用 碎形 的 方式 來 製造出來 的 我 想 請教 一下 吳 老師 究竟 是 用 什麼 樣 的 方法 可以 把 這些 生物 製造出來 呢 這些 活 在 電腦 裡面 的 生物 如此 的 栩栩如生 牠 是 用 碎形 方程式 去 畫出來 的 而 這 碎形 方程式 其實 並 不 複雜 __UNDEF__ 非常 的 簡單 例如 說 這 個 方程式 呢 可以 畫出 像 這樣 的 一 個 草履蟲 或者 是 這 個 方程式 可以 畫出 像 這樣 的 一 個 鞭毛蟲 的 樣態 看起來 好像 很 神奇 的 樣子 那 吳 老師 能不能 給 我們 示範 一下 這些 個 碎型 圖案 是 怎麼 製造出來 其實 我們 在 教 學生 畫 碎形 圖案 的 時候 我們 希望 用 很 活潑 的 很 直接 的 觀念 去 教 他們 而 最 活潑 最 直接 的 觀念 當然 就 是 「 前進 __UNDEF__ 後退 __UNDEF__ 左轉 __UNDEF__ 右轉 」 例如 說 我們 在 畫 一 個 正方形 的 時候 我 先前 進 五十 公尺 然後 呢 轉 九十 度 然後 呢 再 前進 五十 公尺 再 轉 九十 度 再 前進 五十 公尺 再 轉 九十 度 再 前進 五十 公尺 就 畫出 一 個 正方形 我們 把 剛剛 的 規則 寫成 一 個 程式碼 就 畫出 這樣 一 個 正方形 的 圖案 我們 來 想想 看 如果 同樣 是 右轉 每 右轉 十 度 但是 它 畫出 的 正方形 是 愈來愈 大 它 會 變成 什麼 圖形 呢 我們 現在 來 改 一 個 參數 就 是 改變 它 愈來愈 大 的 一 個 參數 它 就 變成 畫出來 就 變成 一 個 新 的 圖案 來 看看 林 老師 你 看 這 個 圖案 像 是 哇 __UNDEF__ 鸚鵡螺 所以 跟 剛剛 完全 不 一樣 的 是 呀 __UNDEF__ 剛剛 是 圓 的 其實 只要 改變 一點 小小 的 想法 這 個 圖案 就 變成 非常 豐富 非常 不 一樣 了 從 簡單 的 規則 改 一點 參數 變成 複雜 豐富 的 形態 這 個 在 碎形 世界 裡面 常常 都 看 得 到 我們 等一下 看到 這 個 曼德布洛 特集 的 時候 大家 會 更 驚訝 非常 豐富 的 一些 圖形 將 會 表現給 大家 看 是 我 非常 期待 我們 來 看看 這 個 是 標準 的 曼德布洛特 集 那 我們 探索 它 呢 就 用 像 這 個 程式 呢 我們 用 滑鼠 點 一下 就 可以 Zoom in 去 看 它 的 細節 它 這 個 內在 世界 非常 豐富 而且 我們 可以 在 裡面 找到 很多 的 圖案 像是 海岸線 海馬 還 有 大象 都 可以 在 裡面 找到 我們 發現 啊 我們 可以 一直 探索 它 所謂 「 探索 它 」 就是說 我們 可以 往 更 細節 的 方向 裡面 去 看 它 所以