的 不同 的 維度 它 顯示 的 形狀 是 一樣 唯一 的 差異 就 是 尺寸 不 一樣 而已 從 結構 力學 來 觀察 楊 老師 與 學生 發現 樹木 結構 其實 遵循 著 一些 神秘 的 法則 這些 法則 與 樹木 的 生存 策略 有 必然 的 關係 也 是 力 與 美 相互 結合 的 表徵 首先 枝幹 成長 的 長度 是 為 了 取得 吸收 陽光 的 最 大 面積 稱為 「 臨界 長度 」 我們 仔細 來 觀察 樹木 的 結構 它 從 下面 枝幹 比較 粗 往 上 的 話 枝幹 比較 細 粗 的話 它 會 伸 得 比較 遠 有 一 個 臨界 長度 細 的話 它 會 伸 得 比較 近 也 是 有 個 臨界 長度 由 下 而 上 整 個 搭配上來 就 變成 它 接受 陽光 的 一 個 面積 就 底下 會 比較 大 上面 比較 小 整 個 一直 到 樹 頂 就 是 樹冠 的 地方 它 就 變成 這 棵 樹 接受 陽光 的 一 個 最 大 的 一 個 限度 其次 樹幹 樹枝 與 樹葉 構成 絕佳 的 「 消能 」 與 「 傳能 」 機制 我們 想像 一 陣 風 吹過來 的 時候 整 棵 樹 都 會 動 枝幹 會 動 枝幹 動 的 時候 其實 葉子 也 都 會 動 空氣 是 一 種 流體 樹枝 在 空氣 裡面 擺動 的 時候 其實 它 就 把 它 變形 的 能量 轉給 空氣 轉給 空氣 所以 它 擺 兩 下 一 陣 風 來 擺 兩 下 它 就 停 了 很 快 它 就 把 能量 消散掉 把 風 帶來 的 能量 整 個 轉給 空氣 這 個 道理 跟 划龍舟 一樣 槳 在 水 裡 撥來 撥去 龍舟 便 往 前 進 因為 選手 把 他們 的 「 體能 」 經由 槳 的 能量 傳遞 而 轉化成 龍舟 前進 的 「 動能 」 空氣 與 水 一樣 也 是 流體 風吹 樹 風能 便 進入 樹 與 此 同時 樹葉 也 隨 風 搖擺 那些 在 空氣 中 搖擺 的 千百 片 樹葉 就 好比 水 中 划動 的 千百 個 「 槳 」 適時 而 不著痕跡 的 把 風 帶給 樹 的 能量 釋放到 空氣 中 樹木 具備 碎形 的 形態 已經 是 碎形 的 常識 楊永斌 老師 也 帶 著 學生 找出 了 樹木 結構 所 遵循 的 一些 法則 可是 樹木 的 碎形 形態 與 樹木 結構 上 的 力學 究竟 有 什麼 樣 的 關係 楊 老師 說 還 有待 跨 領域 的 合作 來 尋求 解答 我們 即將 看到 這 一 張 圖 呢 非常 像 一 隻 活生生 的 草履蟲 我們 可以 來 比較 一下 這 是 一 個 草履蟲 池塘 裡面 的 草履蟲 這 是 我們 用 程式 畫出來 的 部份 我們 也 可以 去 選擇 這 個 區域 來 看看 它 內部 的 一 個 結構 所以 我們 發現 牠 有 非常 細膩 的 細節 跟 漂亮 的 色彩 可以 讓 這 一 隻 草履蟲 電腦 裡面 的 草履蟲 可以 有 一些 演化 的 過程 所謂 演化 的 過程 就是說 我們 發現 它 裡面 有 一些 流動 或者 是 一些 生長 的 變化 這 一 張 圖 就 更 寫實 了 我們 看到 一 個 像 這樣 的 一 個 非常 活生生 的 一些 變化 一些 鞭毛 的 運動 這 就 是 碎形 生物 形態 的 圖 以上 這些 生物 它 都 只 存在 電腦 裡面 它 是 用 碎形 的 方式 來 製造出來 的 我 想 請教 一下 吳 老師 究竟 是 用 什麼 樣 的 方法 可以 把 這些 生物 製造出來 呢 這些 活 在 電腦 裡面 的 生物 如此 的 栩栩如生 牠 是 用 碎形 方程式 去 畫出來 的 而 這 碎形 方程式 其實 並 不 複雜 __UNDEF__ 非常 的 簡單 例如 說 這 個 方程式 呢 可以 畫出 像 這樣 的 一 個 草履蟲 或者 是 這 個 方程式 可以 畫出 像 這樣 的 一 個 鞭毛蟲 的 樣態 看起來 好像 很 神奇 的 樣子 那 吳 老師 能不能 給 我們 示範 一下 這些 個 碎型 圖案 是 怎麼 製造出來 其實 我們 在 教 學生 畫 碎形 圖案 的 時候 我們 希望 用 很 活潑 的 很 直接 的 觀念 去 教 他們 而 最 活潑 最 直接 的 觀念 當然 就 是 「 前進 __UNDEF__ 後退 __UNDEF__ 左轉 __UNDEF__ 右轉 」 例如 說 我們 在 畫 一 個 正方形 的 時候 我 先前 進 五十 公尺 然後 呢 轉 九十 度 然後 呢 再 前進 五十 公尺 再 轉 九十 度 再 前進 五十 公尺 再 轉 九十 度 再 前進 五十 公尺 就 畫出 一 個 正方形 我們 把 剛剛 的 規則 寫成 一 個 程式碼 就 畫出 這樣 一 個 正方形 的 圖案 我們 來 想想 看 如果 同樣 是 右轉 每 右轉 十 度 但是 它 畫出 的 正方形 是 愈來愈 大 它 會 變成 什麼 圖形 呢 我們 現在 來 改 一 個 參數 就 是 改變 它 愈來愈 大 的 一 個 參數 它 就 變成 畫出來 就 變成 一 個 新 的 圖案 來 看看 林 老師 你 看 這 個 圖案 像 是 哇 __UNDEF__ 鸚鵡螺 所以 跟 剛剛 完全 不 一樣 的 是 呀 __UNDEF__ 剛剛 是 圓 的 其實 只要 改變 一點 小小 的 想法 這 個 圖案 就 變成 非常 豐富 非常 不 一樣 了 從 簡單 的 規則 改 一點 參數 變成 複雜 豐富 的 形態 這 個 在 碎形 世界 裡面 常常 都 看 得 到 我們 等一下 看到 這 個 曼德布洛 特集 的 時候 大家 會 更 驚訝 非常 豐富 的 一些 圖形 將 會 表現給 大家 看 是 我 非常 期待 我們 來 看看 這 個 是 標準 的 曼德布洛特 集 那 我們 探索 它 呢 就 用 像 這 個 程式 呢 我們 用 滑鼠 點 一下 就 可以 Zoom in 去 看 它 的 細節 它 這 個 內在 世界 非常 豐富 而且 我們 可以 在 裡面 找到 很多 的 圖案 像是 海岸線 海馬 還 有 大象 都 可以 在 裡面 找到 我們 發現 啊 我們 可以 一直 探索 它 所謂 「 探索 它 」 就是說 我們 可以 往 更 細節 的 方向 裡面 去 看 它 所以 當 這 個 曼德布洛特 他 在 1970年代 多 的 時候 他 提出 了 這 個 「 曼德布洛 特集 」 的 時候 大家 非常 驚訝 為什麼 一 個 小小 的 複數 方程式 它 可以 包含 如此 廣大 的 世界 所以 「 曼德布洛特集 」 被 稱為 是 數學 裡面 最 細膩 的 最 美麗 的 寶典 所以 林 老師 可以 來 看 一下 這 個 來 玩 一下 來 體驗 一下 「 曼德布洛 特集 」 的 這 個 世界 它 到底 如何 的 變化 是 __UNDEF__ 我 也 來 操作 看看 它 有 這麼多 不 一樣 的 東西 包括 大象 包括 這 個 OK 我們 來 看 大象 有 個 長長 的 鼻子 OK 這 個 是 大象 對 .
 
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長長 的 鼻子 那 我 ZOOM-IN 來 看 所以 你 發現 這 個 非常 細膩 的 一 個 結構 而且 愈 往 裡面 探索 愈 發現 哇 __UNDEF__ 這 個 世界 好像 探索 不 完 似的 是 啊 整 個 的 圖像 往 裡面 ZOOM-IN 又 有 另外 一 個 圖像 出來 對 對 啊 有點 像 又 不 是 完全 相似 對 __UNDEF__ 這 是 它 的 這 是 它 非常 明顯 的 一 個 特徵 它 呢 有 自我 相似 的 特徵 對 但是 呢 又 不 全然 一樣 對 這 才 是 吸引 科學家 數學家 藝術家 非常 吸引 他 的 一 個 地方 因為 他 永遠 不 知道 他 會 找到 什麼 東西 其實 碎形 對於 藝術家 對於 科學家 甚至 對於 做 平面 設計 的 都 很 有 幫助 很多 人 用 碎形 的 觀念 做出 很多 的 創作 做出 很多 的 作品 例如 像 我們 地磚 的 一些 樣態 很多 都 是 用 碎形 的 觀念 做出來 的 所以 這 個 碎形 其實 很 深入 我們 生活 之中 剛才 我們 所 看到 示範 的 圖案 它 有 一 個 共通 的 特色 那 就 是 「 玩 程式 」 它 是 在 電腦 上面 利用 碎形 幾何 的 方法 把 圖案 拼出來 然後 改變 它 的 參數 製造出 類似 大自然 的 山 __UNDEF__ 水 __UNDEF__ 樹木 __UNDEF__ 花朵 等等 可是 呢 __UNDEF__ 那 是 因為 改變 參數 所 「 矇 」 出來 的 那 我們 有沒有 可能 在 大自然 的 實物 當中 找出 它 的 規則 定出 它 的 參數 用 電腦 跑出 圖案 來 呢 就 像 我 手 中 的 蕨葉 一樣 好 __UNDEF__ 我們 就 用 這 個 例子 來 看 所謂 的 「 貼片 定理 」 怎麼 來 做出 這 個 用 碎形 的 道理 來 做出 這 個 圖案 出來 首先 要 觀察 這 個 圖案 具有 的 自我 相似性 也就是說 整體 跟 它 的 局部 有 沒有 相似 的 地方 然後 我們 貼片 定理 就 是 要 用 盡量 少 的 平行 四邊形 把 自我 相似 的 部分 全部 把 它 貼出來 然後 包含 整 個 圖像 然後 反覆 的 執行 這些 規則 就 會 得到 圖案 做給 大家 看 首先 我們 先 看 我 先 做 一 個 平行 四邊形 一 個 平行 四邊形 代表 一 個 規則 譬如說 我 這 個 紅色 的 平行 四邊形 這 一 個 你 如果 看 紅色 框住 的 這 一 個 部分 的 圖像 跟 整體 是 相似 的 它 只是 比較 縮小 了 一點 而已 OK 我們 再 看 這 一 部分 並 沒有 被 框住 所以 我們 再 用 另外 一 個 規則 也 就 是 另外 一 個 平行 四邊形 把 這裡 框起來 那 接著 呢 我們 再 把 右下角 這 一 個 我們 也 把 它 框起來 我們 再 做 一 個 很 簡單 的 長方型 來 框住 __UNDEF__ 做 這 個 梗 好 __UNDEF__ 所以 我們 現在 有 四 個 平行 四邊形 它 代表 四 個 規則 我們 先 看看 我們 照 這 個 規則 作用 在 這 個 作用 一 次 之後 我們 得到 的 結果 是 這樣子 這 個 一 個 平行 四邊形 的 意思 就是說 我 把 這 個 整 個 長方型 縮小 變成 這 個 平行 四邊形 那 這 個 平行 四邊形 意思 就 把 整 個 長方形 縮小 放 在 這裡 所以 我們 把 四 個 規則 套用 上去 之後 我們 做 了 一 次 我們 就 看到 四 個 平行 四邊型 我們 如果 再 套用 一 次 你 就 會 出現 這樣 的 圖案 每 一 個 平行 四邊形 它 這樣 作用 無窮 多 次 之後 一直 縮 ...
 
最後 都 變成 一 個 點 平行 四邊形 都 是 一 個 點 可是 我們 平行 四邊形 的 數量 是 越來越 增加 每 一 次 乘以 四 所以 最後 我們 有 無窮 多 個 平行 四邊形 每 一 個 都 變成 一 個 點 最後 是 無窮 多 個 點 在 上面 這 無窮 多 個 點 所 組成 的 圖案 會 是 這 個 圖案