觀看 者 眼 裡 便 是 一 個 紅 點 依 此 類推 而 出現 紅點 黃點 與 藍 點 如此 再 加上 球體 的 灰色 一共 有 紅 __UNDEF__ 黃 __UNDEF__ 藍 __UNDEF__ 灰 四 種 顏色 四 種 顏色 的 光 在 球面鏡 上 不同點 的 反射 會 產生 無窮 的 夾雜 在 紅色 與 黃色 之間 一定 會 看到 藍色 在 藍色 與 黃色 之間 一定 會 看到 紅色 也就是說 找 不 到 真正 的 邊界 我們 的 概念 是 來自 華嚴經 裡頭 的 因陀羅網 因陀羅網 就是說 它 有 一 串 珠寶 每 個 珠子 裡面 都 看到 整 個 的 世界 其它 的 珠子 我們 在 這 個 模型 裡頭 也 可以 看到 這 一 點 每 個 珠子 你 看過去 每 一 個 點 它 其實 都 會 看到 其它 所有 的 珠子 而且 都 有 四 個 顏色 無窮 的 夾雜 所以 我們 這 個 模型 我們 把 它 叫做 因為 它 是 透過 光 來 展現 把 它 叫做 「 光 的 流域 」 傳統 的 歐氏 幾何 所 描述 的 點線面 都 是 非常 完美 的 形態 是 人為 的 是 刻意 簡化 的 在 自然界 幾乎 不 存在 所以 海岸線 山稜線 或是 雲彩 邊緣 那 種 彎彎曲曲 的 形態 很 難 用 歐氏 幾何 去 描述 數學界 因此 需要 新 的 概念 新 的 名詞 以期 對 自然界 做 更 精確 的 描述 「 碎形 」 正 是 這樣 的 產物 『 英國 的 海岸線 有 多 長 』 這 個 問題 很 像是 小學生 的 考題 可是 提問 人 卻 是 一 名 大 數學家 不僅 如此 他 討論 這 問題 的 文章 也 登上 了 國際 著名 的 學術 期刊 “ SCIENCE ” 『 科學 』 而且 立刻 引起 廣大 的 迴響 計算 海岸線 的 長度 究竟 能 有 多 大 學問 呢 1967年 法籍 波蘭裔 數學家 曼德布洛特 （ BBMANDELBROT ） 以 『 英國 的 海岸線 有 多 長 』 這 篇 短文 向 世人 提出 一些 嶄新 的 幾何 觀念 他 認為 「 維度 __UNDEF__ 不 只 是 整數 也 可以 是 分數 」 同時 針對 「 海岸線 有 多 長 」 這 個 問題 曼德布洛特 以 他 的 新 觀念 來 計算 卻 求出 一 個 許多 人 搔白 了 頭 也 想 不 出來 的 答案 答案 是 「 趨近於 無限 大 」 為什麼 呢 我們 實際 上 來 量量 看 這 是 一 張 英國 的 地圖 這 呢 是 一 支 尺 我們 把 這 個 尺 當成 量測 的 一 個 單位 那麼 我們 把 地圖 攤開來 以後 從 北邊 開始 沿 著 海岸線 來 量測 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 大概 是 十 左右 在 量測 的 過程 當中 我們 會 忽略掉 在 這些 小小 的 彎曲 的 一 個 海岸線 因為 它 的 量測 基本 單位 是 這麼 長 可是 當 我們 把 這 個 量測 的 單位 取 二分之一 的 時候 這麼 短 的 時候 我們 再 開始 量 一 二 三 四 五 六 十八 十九 二十 二十一 剛剛 呢 用 一 個 單位 去 量 的 時候 它 是 十 那 用 二分之一 個 單位 去 量 的 時候 它 應該 是 二十 結果 它 是 二十一 了 換句話說 呢 它 把 這些 彎彎曲曲 的 小小 的 這些 彎曲 線 量 出來 了 所以 它 的 值 變大 了 那 如果 就 這樣 我們 一 次 又 一 次 的 二分之一 二分之一 縮小 下去 的話 它 的 值 就 會 愈來愈 高 比 它 的 兩 倍 還 要 多一點 兩 倍 還 要 多一點 我們 如果 把 這 個 量測 的 尺 漸漸 的 把 它 趨近於 無限 小 的 時候 那麼 我們 所 量測 的 海岸線 將 趨近於 無限 大 自然界 當然 不可能 有 無限 的 彎曲 可是 如果 把 它 近似 到 一 個 極限 的話 就 可以 視為 無限 的 彎曲 這 就 是 碎形 最 重要 的 概念 無窮 的 結構 碎形 要 能量化 才 能 做 比較 才 會 有 數學 上 以及 實用 上 的 意義 於是 曼德布洛特 又 提出 了 另 一 個 概念 碎形 維度 歐氏 幾何 大家 知道 直線 是 一 維 平面 是 二維 立體 的 空間 就 是 三維 你 講 海岸線 這麼 彎彎曲曲 它 長度 你 去 量 的話 真正 你 用到 很 小 的 尺寸 量 到 所有 的 細節 的話 它 長度 變成 無窮 長 所以 它 不 是 一 維 的 因為 一 維 的 東西 要 有 一 個 有限 的 長度 可是 你 要 算 的 海岸線 它 是 一 條 曲線 啊 你 要 算 它 面積 它 沒有 面積 它 面積 是 零 所以 它 不 是 一 維 也 不 是 二維 怎麼辦 它 要是 一 個 碎形 然後 它 的 維度 你 要 先 發明出來 這 是 曼德布洛特 的 工作 他 說 它 的 維度 是 譬如說 可能 大概 是 一點 二十六 你 用 一點 二十六 維度 的 量度 來 測量 海岸線 那 答案 就 是 一 個 有限值 那 這 個 有限值 你 就 可以 比較 這 個 海岸線 比 那 個 海岸線長 因為 兩 個 有限值 你 可以 做 比較 這樣 就 有 意義 了 海岸線 的 測量 竟然 這麼 複雜 如果 海岸線 是 一 條 彎彎曲曲 的 繩子 那 就 好 辦 了 把 它 拉直 了 再量 就 行 了 可是 海岸線 怎麼 拉 得 直 呢 如果 拉 不 直 要 怎麼 量 才 準 呢 或許 把 碎形 維度 當做 「 指數 」 來 運用 在 地質 探勘 上 便 會 有 一些 實用性 維度 是 一 個 重要性 的 指標 它 可以 用來 比較 同 一 時間 不同 地點 或者 呢 相同 地點 不同 時間 的 相對 關係 我 現在 所在 的 位置 是 在 台灣 西南部 的 泥岩 地區 這 是 一 個 惡 地 地形 我們 可以 看 得 到 草木 生長 的 非常 少 而且 它 有 雨溝 的 存在 碎形 幾何 怎麼 運用 在 台灣 西南部 的 泥岩 調查 呢 接下來 我們 就 去 請教 一下 國科會 的 計畫 主持人 陳昭男 博士 陳 老師 能不能 跟 我們 談 一下 您 在 這 個 台灣 西南部 所 做 的 碎形 幾何 研究 的 結果 是 地形 上面 它 本身 就 是 一 個 形態 所以 我們 當初 想要 設計 這 個 題目 的 原因 是 因為 我們 希望 藉由 這 個 形態 去 瞭解 原先 造就 現在 的 地形 現在 的 形態 的 原因 所以 我們 才 會 希望 使用 一 個 描述 形態 的 一 個 指標 那 碎形 剛好 就 是 在 描述 形態 上面 的 指標 在 一般 的 狀況 下 我們 發現 這 個 碎形 維度 它 是 隨著 高度 而 增加 的 但是 在 我們 這 個 研究區 的 範圍 最近 的 成果 發現 雖然 它 還是 整 個 來 講 它 會 隨著 高度 增加 但是 在 稜線 的 地方 它 是 有 稍微 下降 的 特性 林 老師 __UNDEF__ 您 看 這 一 張 圖 上面 出現 的 特性 您 看到 在 隨著 高度 的 增加 發現 了 這 個 碎形 維度 的 值 也 隨著 高度 增加 而 增高 所以 它 是 有 正 相關 的 特性 但是 呢 它 卻 在 最高點 的 地方 有 一點 下滑 的 現象 也就是說 它 在 稜線 的 位置 已經 不 是 最 高 的 所以 大概 是 在 下降 大概 五十 到 一百 公尺 的 地方 發現 它 的 碎形 維度 是 最 高 那 當然 我們 希望 說 在 之後 也 可以 透過 模擬 的 方式 把 整 座 山 經過 降雨 的 模式 把 它 模擬出來 希望 也 可以 找到 是 不 是 有 一樣 的 特性 那 如果說 它 的 特性 是 一樣 的話 這樣子 我們 就 可以 證明 我們 在 自然界 看到 的 也 是 跟 我們 模擬 產生出來 結果 是 一樣 的 就 碎形 的 特性 來 說 前面 介紹 的 無窮 結構 以及 碎形 維度 是 必然 的 特性 屬於 比較 抽象 的 層面 一般人 比較 耳熟能詳 的 反而 是 另 一 個 非 必然 的 特性 那 就 是 「 自我 相似 」 或 「 自我 複製 」 這 種 複雜 變化多端 的 碎形 它 往往 具有 說 整體 跟 細微 的 部分 有 一些 相似 的 部分 那 這 個 我們 叫做 「 自我 相似 」 的 碎形 它 是 碎形 裡頭 特別 的 一 種 這 個 大家 比較 熟悉 所以 往往 很多 人 就 說 具有 自我 相似性 的 就 是 碎形 的確 它 也 是 比較 吸引人 的 部分 很多 人 對 碎形 幾何 的 觀念 還是 停留 在 自我 相似性 究竟 什麼 是 自我 相似性 呢 講起來 很 複雜 我們 做 遊戲 就 知道 了 做 中學 同學 這 個 這 個 遊戲 是 什麼 遊戲 這 個 是 碎形 拼圖 這 個 看起來 好像 每 一 片 都 差不多 這 要 怎麼 拼 這裡 的 每 一 塊 都 長 得 一樣 我們 要 利用 它 翻轉 轉動 然後 把 它 拼成 一 個 大 塊 的 然後 那 個 大 塊 的 圖形 也 長 得 跟 這 小 塊 的 一樣 ok 所以 剛剛 講 的 自我 相似 就是說 這 個 小 的 這 一 小 片 然後 拼出來 整 個 大 片 也 是 像 這麼 一 小 片 就 對了 講起來 好像 很 簡單 不過 還 要 翻轉 我們 試試 看好 了 一般 拼圖 都 是 先 拼 邊緣 的 話 如果 這 個 是 這 個 自我 相似 和 空白 看起來 很 簡單 怎麼 弄出來 沒有 辦法 我 實在 是 沒有 辦法 同學 能不能 幫幫忙 拼完 了 耶 帥 呀 奇怪 為什麼 我 拼 那麼 久 都 拼 不 出來 然後 你 這麼 容易 就 把 它 拼出來 到底 有 什麼 祕訣 其實 我 只是 把 它 的 規則 記起來 而已 每 一 片 分成 四 小 份 那 每 一 小 份 都 有 一 個 翻轉 規則 那 我 把 每 一 片 都 按照 它 的 位置 的 翻轉 規則 然後 做 一樣 的 翻轉 然後 在 把 它 放進去 放到 一樣 的 位置 後 四 片 就 又 形成 一 個 比較 大 片 的 然後 再 做 同樣 的 翻轉 規則 ok 進行 翻轉完 之後 呢 就 會 完成 大 片 __UNDEF__ 又 更 大 片 的 所以 你 是 一 片 把 它 分成 四等份 去 拼 它 拼出來 以後 然後 在 用 翻轉 規則 再 把 這 四 片 當成 一 份 再 來 拼 ok ok 所以 從小到大 這樣子 慢慢 的 慢慢 的 堆起來 只要 運用 同樣 的 翻轉 規則 然後 不管 是 什麼 圖案 都 可以 利用 這 個 翻轉 規則 拼出 像 這樣 一樣 的 圖案 太 好 了 那 也 借 我 一 套 我 回去 騙騙 我 的 學生 好 大自然 的 物體 所 呈現 的 都 是 力 與 美 的 結構 樹 更 是 其中 最 為 人 所 熟知 的 例子 樹 具備 碎形