我 同樣 也 論證 了 ， 只要 連續 地 改變 拓樸 ， 即可 產生 無窮 多 類 卡拉 比 猜想 關鍵 方程式 的 解 （ 此 方程 是 愛因斯坦 方程 的 一 個 特例 ， 現在 稱為 卡拉 比 - 丘 方程 ） 。 方程式 的 解 本身 是 一 個 拓樸 空間 ， 證明 的 威力 在於 它 是 最 一般 的 情況 。 換句話說 ， 我 證明 的 不 只 是 這 種 空間 的 一 個 或 一 特殊類 的 例子 ， 而是 非常 多 類 的 例子 。 我 還 能 更 進一步 論證 ， 如果 固定 某些 拓樸 條件 ， 例如 確定 位於 原流形 中 的 某些 複子 流形 ， 那 就 只 可能 有 一 個 解 。 在 我 的 證明 之前 ， 已 知能 滿足 愛因斯坦 方程 所 設定 條件 的 緊緻 空間 ， 只 有 「 局部 齊性 」 （ locally homogeneous ） 的 空間 ， 也就是說 ， 任何 彼此 靠近 的 兩 點 看起來 是 一樣 的 。 不過 我 所 得到 的 空間 ， 既 非齊性 、 也 不 具 對稱性 ， 至少 沒有 整體 的 大域 對稱性 ， 儘管 它 具有 前 一 章 討論 過 、 比較 不 明顯 的 內部 對稱性 。 對 我 而 言 ， 這 不啻 是 跨過 了 一 道 巨大 的 障礙 ， 因為 一旦 掙脫 大域 對稱 的 桎梏 ， 便 開啟 了 數 之 不盡 的 各 種 可能性 ， 讓 這 世界 變 得 既 有趣 而且 也 更 紛雜 。 起初 ， 我 只是 沉醉 於 這些 精緻 空間 以及 曲率 本身 的 美 ， 還 不 曾 想 過 實際 應用 的 可能性 。 但是 要不了 多久 ， 種種 應用 相繼 出現 ， 有的 在 數學 內部 ， 有的 在 數學 之外 。 以前 ， 我們 一度 認為 卡拉比 的 想法 「 好 到 難以置信 」 ， 結果 卻 發現 它 竟然 比 「 好 到 難以置信 」 還要 更 好 。 圖 5.1 數學家 鄭紹遠 （ George M. Bergman 拍攝 ） 圖 5.2 圖 為 牛頓 勘根法 的 簡單 說明 。 要 找出 某 一 特定 曲線 （ 即 函數 ） 與 X 軸 的 交點 ， 我們 先 從 一 個 最佳 估計 x0 開始 ， 然後 取 這 條 曲線 在 點 x0 的 對應 切線 ， 看看 它 會 和 X 軸 在 哪裡 相交 （ 我們 把 交點 稱為 x1 ） 。 再 對 x1 做 同樣 的 操作 ， 如此 一直 下去 。 假定 初始 估計 誤差 不 大 ， 我們 會 逐漸 逼近 真正 的 解 ， 點 x 。 第 章弦論 的 DNA 弦 論 必須 是 十 維 的 理由 十分 複雜 ， 主要 的 想法 大致 如 下 ： 維度 愈 大 ， 弦 可以 振動 的 方式 愈 多 。 但 為 了 製造出 宇宙 中 的 所有 可能性 ， 弦 論 不只 需要 大 數目 的 可能 振動 模式 ， 而且 這 個 數目 還 必須 是 特定 的 數 ， 結果 這 個 數 只 有 十 維 時空 才 辦 得 到 。 尋找 鑽石 的 時候 ， 幸運 的話 ， 你 可能 附帶 找到 其他 的 寶石 。 我 在 1977年 發表 的 一 篇 兩 頁 論文 裡 ， 宣告 完成 了 卡拉比 猜想 的 證明 ， 詳細 的 證明 則 發表 在 1978 年 的 73 頁 論文 中 ， 在 這 篇 文章 裡 ， 我 附帶 證明 了 另外 五 個 相關 的 定理 。 綜而言之 ， 這些 意外 的 收穫 ， 其實 源 自我 思索 卡拉 比 猜想 時 的 非常 境遇 ： 我 先 是 想