完全 用 幾何 來 證明 。 這 其中 辯論 的 風格 、 思考 的 方式 ， 都 和 結論 一樣 有趣 。 先 考慮 一 個 邊 長 為 1 的 正方形 （ 可以 是 1 公分 、 1 英 寸 、 1 光年 ， 都 沒有 關係 ） ： A　　 D 對角線 BC 把 正方形 分成 兩 個 三角形 ， 每 一 個 三角形 都 包含 一 個 直角 。 在 這樣 的 直角三角形 中 ， 畢氏 定理 說 ＝ x2 。 但是 12＋ ＝ 1＋ ＝ 2 ， 因此 x2 ＝ 2 ， 而 我們 寫成 x ＝ √ 2 ， 二 的 平方根 。 我們 假定 √ 2 是 有 理數 （ 即 可以 寫成 分數 ） ， 所以 √ 2 ＝ p/q ， 此 處 的 p 和 q 是 整數 、 自然數 ， 它們 要 多 大 就 可以 多 大 ， 也 可以 依 我們 所 願 代表 任何 整數 。 我們 當然 可以 要求 p 和 q 之間 沒有 公因數 ， 例如 我們 說 √ 2 ＝ 14/10 ， 當然 就 把 因 數 2 消掉 ， 然後 寫成 p ＝ 7 和 q ＝ 5 ， 而 不 是 p ＝ 14 ， q ＝ 10 。 於是 我們 開始 之前 ， 先 把 分子 和 分母 的 所有 公因數 都 消掉 ， 那麼 還是 有 無窮 多 個 p 和 q 可以 選擇 。 從 √ 2 ＝ p/q 這 式子 開始 ， 我們 把 公式 兩 邊 都 平方 ， 結果 2 ＝ p2/q2 ， 或者 把 公式 兩 邊 都 乘上 一 個 q2 ， 便 得到 p2 ＝ 2 q2 公式 ( 1 ) 因此 p2 是 某 個 數 乘 上 2 ， 因此 p2 是 偶數 。 由於 任何 奇數 的 平方 仍 是 奇數 （ 12 ＝ 1 ， 32 ＝ 9 ， 52 ＝ 25 ， 72 ＝ 49 ， 依 此 類推 ） ， 所以 p 本身 必定 是 偶數 ， 可以 寫成 p ＝ 2s ， s 是 其他 的 整數 。 把 p ＝ 2s 代入 公式 （ 1 ） ， 我們 得到 p2 ＝ （ 2s ） 2 ＝ 4s2 ＝ 2 q2 最後 的 等 式 兩 邊 都 除以 2 ， 我們 得到 q2 ＝ 2s2 因此 ， q2 也 是 偶數 ， 而且 根據 剛剛 用 在 p 的 論證 ， 可 知 q 也 是 偶數 。 但是 如果 p 和 q 兩 者 都 是 偶數 ， 則 兩 者 都 可以 用 2 除盡 ， 因此 它們 還 沒有 化成 最 小 公因數 ， 也 就 違反 過程 中 的 某 個 假設 。 「 歸謬法 」 。 然而 ， 是 哪 一 個 假設 為 荒謬 呢 ？ 這 種 論證 不會 禁止 我們 不許 把 公因數 消掉 ， 它 不會 說 14/10 可以 而 7/5 不行 ， 因此 最先 的 假設 必定 是 錯誤 的 ， 也就是說 ， p 和 q 不 可能 是 整數 ， 因此 √ 2 是 無理數 。 事實 上 ， √ 2 ＝ 1.4142135...... 。 這 真 是 一 個 令 人 始料未及 的 結論 啊 ！ 而且 證明 的 過程 是 多麼 美妙 啊 ！ 可是 畢達哥拉斯 學派 竟然 千方百計 要 打壓 這 個 偉大 的 發現 。 【 附錄 二 】 五 種 畢達哥拉斯 立體 一般 的 多邊形 （ polygon ， 希臘文 的 字義 是 「 許多角 」 ） 是 有 n 個 等 邊 的 二維 圖形 ， 因此 n ＝ 3 是 等 邊 三角形 ， n ＝ 4 是 正方形 ， n ＝ 5 是 五邊形 等等 。 多面體 （ polyhedron ， 希臘文