把 公因數 消掉 ， 它 不會 說 14/10 可以 而 7/5 不行 ， 因此 最先 的 假設 必定 是 錯誤 的 ， 也就是說 ， p 和 q 不 可能 是 整數 ， 因此 √ 2 是 無理數 。 事實 上 ， √ 2 ＝ 1.4142135...... 。 這 真 是 一 個 令 人 始料未及 的 結論 啊 ！ 而且 證明 的 過程 是 多麼 美妙 啊 ！ 可是 畢達哥拉斯 學派 竟然 千方百計 要 打壓 這 個 偉大 的 發現 。 【 附錄 二 】 五 種 畢達哥拉斯 立體 一般 的 多邊形 （ polygon ， 希臘文 的 字義 是 「 許多角 」 ） 是 有 n 個 等 邊 的 二維 圖形 ， 因此 n ＝ 3 是 等 邊 三角形 ， n ＝ 4 是 正方形 ， n ＝ 5 是 五邊形 等等 。 多面體 （ polyhedron ， 希臘文 的 字義 是 「 許多 面 」 ） 是 三 維 的 形體 ， 其 所有 的 面 都 是 等 邊 多 邊形 ， 例如 立方體 的 六 個 面 都 是 正方形 。 簡單 的 多面體 必定 沒有 缺口 或 孔 洞 。 畢達哥拉斯 和 克卜勒 的 研究 重點 在於 有 五 種 多 面體 ， 也 只 有 五 種 多 面體 。 最 簡單 的 證明 是 由 後代 的 笛卡兒 和 歐拉 （ Leonhard Euler, 1707 ~ 1783 ， 瑞士 數學家 ） 發展出來 的 ， 他們 發現 一 種 數學 關係 ， 可以 把 面 的 數目 F 、 邊 的 數目 E 及 頂角 或 頂點 的 數目 V 聯繫 在一起 ： V－E＋ ＝ 2 公式 ( 2 ) 因此 對 立方體 來 說 有 六 個 面 （ F ＝ 6 ） 、 八 個 頂點 （ V ＝ 8 ） ， 因此 8－E＋ ＝ 2 ， 14－E ＝ 2 ， 因此 E ＝ 12 ， 即 公式 ( 2 ) 預測 立方體 有 十二 個 邊 ， 而 它 真的 有 。 在 庫朗 （ Richand Courant, 1888 ~ 1972 ， 德國 數學家 ） 和 羅賓斯 （ Herbent Robbins ） 的 《 數學 是 什麼 ？ 》 （ What is Mathematis ?
 
） 書 中 可以 找到 公式 ( 2 ) 的 簡單 幾何 證明 。 從 公式 ( 2 ) ， 我們 可以 證明 只 有 五 種 多 面體 ： 多面體 的 每 個 邊 ， 都 由 相鄰 的 兩 個 多邊形 共享 。 再 以 立方體 為 例 ， 每 個 邊 都 是 兩 個 正方形 之間 的 邊界 。 如果 我們 把 多 面體 所有 的 面 的 所有 邊數 全 都 加起來 ， 得到 nF ， 這樣 會 把 每 一 個 邊 都 數 兩 次 ， 因此 ： nF ＝ 2E 公式 ( 3 ) 現在 讓 r 代表 在 每 一 個 頂點 會合 的 邊數 。 對 立方體 來 說 ， r = 3 。 同樣 的 ， 每 一 邊 都 連接 兩 個 頂點 。 如果 我們 把 邊 所 連接 的 所有 頂點 加起來 ， 得到 r V ， 同樣 地 ， 我們 會 把 每 一 個 邊 都 數 了 兩 次 ， 所以 ： r V ＝ 2 E 公式 ( 4 ) 把 V 和 F 從 公式 ( 3 ) 和 公式 ( 4 ) 代入 公式 ( 2 ) ， 便 得到 －E＋＝ 2 如果 把 公式 的 兩 邊 都 除以 2E ， 便 得到 ＋＝＋公式 ( 5 ) 我們 知道 n ＝ 3 或 大於 3 ， 因為 最 簡單 的 多邊形 是 三角形 ， 有 三 個 邊 。 我們 也 知道 r ＝ 3 或 大於 3 ， 因為 任何