全 等 直角三角形 ， 得到 的 是 一 個 以 三角形 斜 邊 構成 的 正方形 （ 參圖 2-2 中間 圖例 ） 。 從 另 一 方面 來 看 ， 從 同樣 的 正方形 中 減去 四 個 相同 的 全 等 三角形 （ 參圖 2-2 左方 圖例 ） ， 得到 的 是 兩 個 以 短 邊 構成 的 較 小 正方形 。 因此 ， 得到 斜 邊 形成 的 正方形 面積 等於 兩 個 較 小 正方形 的 面積 和 。 數學家 魯米斯 （ Elisha Scott Loomis ） 在 其 大作 《 畢氏 命題 》 （ The Pythagorean Proposition ， 一九四○年 出版 ） 中 ， 總計 列出 了 三百六十七 個 關於 畢氏 定理 的 證明 ， 包括 了 達文西 （ Leonardo da Vinci, 1452-1519 ） 以及 美國 第二十 任 總統 嘉菲爾 （ James Garfield, 1831-1881 ） 的 證明 。 雖然 在 畢達哥拉斯 之前 ， 人們 還 不 知道 畢氏 定理 為 一 「 真理 」 ， 體現 了 所有 直角三角形 的 共同 特徵 ， 但 早 在 畢達哥拉斯 之前 人們 就 已經 認識 了 畢氏 三 元 數 （ 即 構成 直角三角形 的 三 個 邊 ） 了 。 一 個 古巴 比倫 時期 （ 約 西元 前 一六○○年 ） 的 巴比倫 土板 ， 就 包含 了 十五 組 這 類 三元數 。 巴比倫人 發現 ， 可以 用 下面 這 個 簡單 的 步驟 或 演算法 算出 畢氏 三 元 數 。 任選 兩 個 整數 p 及 q ， 且 p 大於 q 。 你 就 可以 求出 畢氏 三 元 數 ， 分別 為 p2－q2 ； 2pq ； p2＋ 。 例如 ， 假設 q 為 1 ， p 為 4 。 那麼 p2－q2 = 42－12 = 16－1 = 5 ； 2pq = 2 × 4 × 1 = 8 ； p2 ＋ q2 = 42 ＋ 12 = 16 ＋ 1 = 17 。 這 個 數字 集合 15 、 8 、 17 就 是 畢氏 三 元 數 ， 因為 152＋ = 172 （ 225＋ = 289 ） 。 你 可以 很 容易 證明出 ， 這 個 算法 可以 應用 在 任何 整數 p 及 q 上 （ 有 興趣 的 讀者 ， 附錄 1 裡 有 一 個 簡短 證明 ） 。 因此 ， 有 無窮 多 的 畢氏 三 元 數 （ 已 為 歐幾里德 證明 ） 。 可是 ， 在 畢達哥拉斯 學派 的 世界 中 ， 有 規則 可 循 的 模式 不僅 限於 三角形 和 幾何 之中 。 和諧 之 音 傳說 ， 畢達哥拉斯 因為 發現 音階 的 音程 以及 音調 和 振動 中 的 弦 的 長度 相應 ， 而 發現 了 音樂 中 的 和諧 進行 （ harmonic progression ） 。 他 觀察到 ， 只要 把 一 根 弦 以 一 組 連續性 整數 的 比例 來 分段 （ 到 某 一點 為止 ） 就 可以 發出 悅耳 的 和諧 音程 。 當 兩 個 任意 選出 的 音符 一起 發音 時 ， 發出 的 聲音 通常 都 很 刺耳 ， 只 有 幾 種 組合 可以 發出 悅耳 的 樂音 。 畢達哥拉斯 發現 ， 當 發出 音符 的 弦 的 長度 比 是 依 頭 幾 個 簡單 整數 比 來 分割 時 ， 才 能 得到 這些 人間 難得 幾 回 聞 的 和諧 樂音 。 當 弦 的 長度 比 相等 （ 比例 為 1 : 1 ） 時 ， 發出 的 是 同 一 個 音 ； 弦 的 長度 比 為 1 ： 2 時 ， 得到 八 度 音 ； 當 長度 比 為 2 ： 3 時 ， 得到 的 是 五 度 音 ； 3 ： 4 時 ， 為 四 度