比例 ） 。 六 個 這些 五邊形 再 繼續 形成 另 一 個 更 大 （ 看上去 有 更多 的 洞 ） 的 五邊形 ， 如是 無止盡 下去 。 我 想 每 一 個 人 都 會 同意 ， 如此 得到 的 圖形 非常 美 。 可是 這 個 圖形 還 有 另外 一 個 隨之 而 來 的 數學 之 美 ， 也 就 是 構成 它 的 基礎 原理 的 簡單 之 美 。 我 想 ， 這 就 是 柏拉圖 講到 的 「 數學 的 蒼穹 」 。 幾 無 疑問 ， 柏拉圖 的 身先士卒 要 比 他 直接 做出 的 貢獻 重要 的 多 。 第一世紀 的 菲洛德穆 （ Philodemus, 110-35 B.C. ） B 說 （ 人們 認為 應該 是 他 說 的 ） ： 「 在 柏拉圖 的 帶領 和 發問 下 ， 加上 數學家 的 合力 熱心 研究 ， 那 個 時代 做出 了 極 了不起 的 數學 進展 。 」 即使 如此 ， 柏拉圖 本人 一定 也 對 數字 的 屬性 與 幾何 圖形 有 極 大 興趣 。 例如 ， 他 在 《 法典 》 （ Law ） 一 書 中 建議 ， 一 個 國家 的 最 理想 人數 是 5,040 人 ， 因為 ： （一） 它 是 12 、 20 及 21 的 乘積 ； （ 二 ） 它 的 十二分之一 仍舊 可以 被 12 除 盡 ； （ 三 ） 它 有 59 個 因 數 ， 包括 所有 從 1 到 12 之間 的 整數 （ 唯一 的 例外 是 11 ， 可是 很 接近 5,040 的 5,038 可以 被 11 除盡 ） 。 選 了 這 個 數字 及 其 屬性 ， 柏拉圖 就 可以 發展 他 的 社會 經濟 願景 。 例如 ， 這 個 國家 的 土地 被 分割 為 5,040 塊 ， 國家 分成 12 族 ， 每 族 可 分配到 420 塊 土地 。 這 類 國家 的 人民 被 分為 四 個 等級 ： 自由 公民 和 他們 的 妻兒 ； 奴隸 ； 長住 的 外國人 ； 以及 來 此 訪問 的 各 種 外國人 。 在 議會 選舉 時 ， 來自 這 四 個 等級 的 成員 ， 從 每 一 等級 中 投票 選出 九十 位 議員 。 另 一 個 常常 和 柏拉圖 扯上 關係 的 數字 是 216 。 柏拉圖 在 《 共和國 》 一 書 中 ， 在 一 個 晦澀 難懂 的 段落 中 非常 婉轉 地 指出 ， 216 等於 6 的 立方 ， 而 6 代表 婚姻 （ 為 代表 女性 的 數字 2 和 男性 的 3 的 乘積 ） 。 柏拉圖 本人 師承 畢氏 學派 ， 當然 知道 下面 這 個 事實 ， 即 著名 的 3-4-5 畢氏 三角形 之 邊 的 立方 和 也 等於 216 。 柏拉圖 和 黃金 分割 的 聯繫 主要 來自 兩 個 縈繞 於 他 心懷 的 兩 個 命題 ： （ 一 ） 不可 通約性 ； 以及 （二） 柏拉圖 立體 。 在 《 法典 》 一 書 中 ， 柏拉圖 對於 自己 一直 到 了 晚年 才 知道 有 不可 通約 長度 及 無理數 存在 深以為恥 ， 也 替 他 那 一 代 許多 還 不 知道 這些 數字 的 希臘人 感到 悲哀 。 柏拉圖 看出 ， 就 如 一 個 偶數 可以 是 兩 個 偶數 或 奇數 之 和 一樣 ， 兩 個 無理數 之 和 也 可以 是 無理數 或 有 理數 。 一 條 長度 原 為 有 理數 （ 如 一 單位 ） 的 直線 被 黃金 分割 ， 正 是 後者 的 實證 ， 雖然 柏拉圖 當時 可能 並 不 知道 這 個 事實 。 有 些 研究 者 主張