因為 大自然 的 定律 不會 隨著 時間 而 改變 ， 我們 稱為 能量 的 東西 也 守恆 。 我們 不能 從 無 中 得到 能量 （ 這 就 是 為什麼 我們 有時 要 在 加油站 中 多 付 些 錢 ， 或者 多 付 些 錢 給 煤氣 或 電力 公司 ） 。 因此 ， 基於 對稱性 及 守恆 定律 的 現代 理論 ， 可 說 是 真正 的 「 柏拉圖 」 式 理論 G 。 畢氏 學派 對 多 面體 的 迷戀 ， 一 開始 可能 起源於 他們 對於 地處 的 南 義大利 的 黃 鐵礦 的 晶體 的 觀察 。 黃 鐵礦 即 一般 人 熟知 的 「 愚人金 」 H ， 它 的 晶體 通常 呈 十二 面 體狀 。 可是 柏拉圖 立體 和 它們 的 美 及 數學 屬性 ， 依然 繼續 擄獲 了 柏拉圖 之後 許多 世紀 人們 的 想像力 ， 在 最 出人意料 之外 的 地方 出現 。 例如 西哈諾 （ Cyrano de Bergerac, 1619-1655 ） I 在 科幻 小說 《 航向 月球 》 （ A Voyage to the Moon ） 中 ， 用 了 一 個 二十 面體 形狀 的 飛行器 從 高塔 上 的 監牢 中 逃出 ， 降落 在 太陽 黑 點 上 。 黃金 比例 φ 在 某些 柏拉圖 立體 的 特質 及 對稱性 中 ， 扮演 著 關鍵性 的 角色 。 特別 是 ， 邊 長 為 一 個 單位 長 的 十二 面體 的 表面積 之 和 為 15 φ / √ __3－ φ ， 體積 為 5 φ 3/ （ 6-2 φ ） 。 同樣 的 ， 邊 長 為 一 個 單位 的 二十 面體 的 體積 是 5 φ 5/6 。 柏拉圖 立體 的 對稱性 也 導出 了 其他 有趣 的 屬性 。 例如 ， 正 立方體 和 八面體 有 同樣 數目 的 邊 （ 12 個 ） ， 可是 它們 的 面數 和 頂點 的 數目 正好 顛倒過來 （ 正 立方體 有 六 個 面 和 八 個 頂點 ， 而 八面體 有 八 個 面 及 六 個 頂點 ） 。 十二 面體 和 二十 面體 亦然 ； 二 者 都 有 三十 個 邊 ， 可是 十二 面體 有 十二 個 面 及 二十 個 頂點 ， 二十 面體 正好 反過來 。 柏拉圖 立體 的 這些 似 對稱性 可以 產生 一些 有趣 的 映射 ， 把 一 個 立體 映射 成為 它 的 「 對 偶 」 或者 「 倒 易 」 立體 。 把 立方體 各 面 的 中心點 都 連接起來 ， 會 得到 一 個 八面體 （ 見 圖 4-3 ） ， 如果 繼續 把 一 個 八面體 各 面 的 中心點 都 連接起來 ， 將 會 得到 一 個 立方體 。 同樣 的 步驟 也 可以 應用 在 把 一 個 二十 面體 映射 為 一 個 十二 面體 上 ， 反之亦然 。 而 這 兩 個 （ 一 個 套住 另 一 個 的 ） 立體 的 邊 長 之 比 ， 又 再一次 可以 用 黃金 比例 來 表達 ， 是 為 φ 2 / √ __5 。 四面體 則 自我 倒 易 — — 把 一 個 四面體 的 每 一 面 的 中心點 連接起來 ， 得到 的 是 另 一 個 四面體 。 雖然 古代 的 人 並 不 完全 知道 柏拉圖 立體 的 所有 屬性 ， 可是 柏拉圖 和 他 的 門徒 卻 看到 了 它們 的 全然 之 美 。 從 某 方面 來 說 ， 即使 一 開始 在 建構 這些 圖形 時 遭遇到 了 困難 （ 直到 後來 ， 找到 了 用 黃金 比例 建構 它們 的 方法 ） ， 還是 可以 視 此 為 它們 的 屬性 之 一 。 畢竟