次 都 會 縮減為 之前 的 1 / φ ） 。 如果 我們 以 一 個 倍數 不斷 增加 的 放大鏡 來 審視 這些 愈來愈 小 的 矩形 ， 它們 看起來 都 會 是 一 個 樣 。 黃金 矩形 是 唯一 具有 這 種 特性 的 矩形 ， 即 每 切出 一 個 正方形 ， 就 會 產生 另 一 個 相似 矩形 。 把 任何 一 對 母-子 矩形 畫上 兩 條 對角線 ， 如 圖 4-8 所 示 ， 它們 永遠 都 會 在 同 一 點 相交 。 這 個 母子 系列 繼續 在 愈來愈 小 的 矩形 中 延續 下去 ， 而 收斂 到 一 個 永遠 到不了 的 點 去 。 由於 這 種 得自 黃金 比例 的 「 神 賜 」 特性 ， 因此 數學家 皮考佛 （ A. Pickover ） 建議 ， 我們 應該 把 這 一 點 稱為 「 上帝 的 眼睛 」 。 如果 你 還 不 認為 這些 帶到 φ 的 方程式 有 什麼 好 驚訝 的 ， 去 拿 一 個 簡單 的 袖珍型 計算機 來 ， 我 會 秀 一 個 驚奇 的 「 魔術 把戲 」 給 你 瞧瞧 。 現在 ， 任意 取 兩 個 數字 ， 多少 位數 都 可以 ， 然後 把 這 兩 個 數字 寫出來 ， 一 個 接著 一 個 。 接著 ， 把 這 兩 個 數字 加起來 得到 第三 個 數字 ； 把 第二 個 數字 和 第三 個 數字 加起來 得到 第四 個 數字 ； 再 把 第三 個 數字 和 第四 個 數字 加起來 得到 第五 個 數字 ， 直到 你 有 了 一 系列 的 二十 個 數字 。 假設 最 前面 兩 個 數字 為 2 和 5 ， 那麼 你 會 得到 這樣 一 個 數字 序列 ： 2 ， 5 ， 7 ， 12 ， 19 ， 31 ， 50 ， 81 ， 131 … … 現在 用 計算機 將 第二十 個 數字 除以 第十九 個 。 這 結果 是否 很 熟悉 ？ 我 在 第五 章 時 ， 會 再 回到 這 個 魔術 把戲 與其 解釋 來 。 走向 黑暗 時代 歐幾里德 在 《 幾何 原本 》 中 對於 黃金 比例 所 下 的 定義 ， 主要 著重 在 黃金 比例 的 幾何 解釋 ， 以及 用 它 來 作圖 五邊形 和 某些 柏拉圖 立體 。 希臘 數學家 追隨 歐幾里德 的 腳步 ， 在 接下來 的 幾 個 世紀 裡 新 得 出 了 好幾 個 牽涉到 黃金 比例 的 數學 成果 。 例如 ， 在 《 幾何 原本 》 的 「 補遺 」 （ 通常 稱為 卷 十四 ） 中 ， 包含 了 內 接 於 同 一 個 球體 的 十二 面體 及 二十 面體 的 重要 定理 。 補遺 的 文本 係 為 西元 前 第二 世紀 的 希普西克里斯 （ Hypsicles of Alexandria ） 所 寫 ， 可是 據 信 它 包含 了 一些 佩爾加 的 阿波羅 尼奧斯 所 發現 的 定理 ， 他 是 希臘 數學 「 黃金 時代 」 的 三 位 關鍵 人物 之 一 （ 其他 兩 位 分別 是 歐幾里德 和 阿基米德 ） 。 在 此 之後 ， 關於 黃金 比例 的 發展 逐漸 蔓延到 其他 地方 去 ， 主要 人物 為 希羅 （ 第一世紀 ） 、 托勒密 （ 第二 世紀 ） ， 以及 巴普斯 （ 第四世紀 ） 。 在 《 度規 》 （ Metrica ） 一 書 中 ， 希羅 分別 為 五邊形 及 十邊形 的 面積 ， 以及 十二 面體 和 二十 面體 的 體積 給 了 一 個 近似值 （ 通常 並 未 提供 線索 ， 他 是 怎樣 得到 它們 的 ） 。 托勒密 生活 於 西元 一○○ 至 一七九年