普林斯頓 的 住家 外頭 種 了 一 株 粉紅色 的 火鶴花 。 哥德爾 的 品味 又 如何 ？ 為 他 寫 傳記 的 道森 （ John Dawson ） 說 ， 他 也 好 不 到 哪兒 去 ， 還 覺得 那 火鶴花 「 很 迷人 」 呢 。 第 章 挑戰 六 角 星 數字 謎題 同時 涉及 幻方 （ magic, square ， 即 方陣 中 各 行 、 各 列 的 數字 總和 皆 為 一 固定值 ） 、 幻星形 和 其他 幾何 結構 的 問題 ， 通常 可以 藉由 粗略 的 電腦 程式 來 解決 ， 通常 只要 找找 所有 可能 的 數字 排列 方法 就 行 了 。 而 一旦 組合 種類 過多 、 跑 程式 的 時間 太 久 ， 則 可 另 覓 巧妙 的 捷徑 ， 找出 一 種 計算 方法 將 時間 減少 到 可 控制 的 範圍 內 。 這 種 方式 可 使 電腦 解題 時 不會 太 繁瑣 、 也 更為 有趣 。 這 類 設計 有 個 出色 的 例子 ， 《 數學 學報 》 （ 1991.6, Vol.75, pp.140-42 ） 有 篇 很少 人 知道 的 短文 曾 做 過 描述 ， 作者 為 波特 （ Brian Bolt ） 、 艾格頓 （ Roger Eggleton ） 及 蓋爾克斯 （ Joe Gilks ） 。 如 圖 28.1 ， 這 是 傳統 常見 的 六 角 星形 ， 或 稱 「 大衛 之 星 」 ， 它 裡面 的 六邊形 可以 分成 六 個 等 邊 三角形 。 上述 三 位 作者 便 根據 圖 28.1 首 次 設計出 以下 的 問題 ： 是否 能 將 1 到 12 的 數字 放進 十二 個 三角形 中 ， 讓 箭頭 所 指 的 六 行 數字 ， 分別 加起來 都 有 相同 的 總和 呢 ？ 三 位 作者 指出 ， 有 「 12 !
 
」 種 安排 數字 的 方式 。 如果 排除 六 種 旋轉 與 六 種 鏡 射 的 結果 ， 數目 就 會 降到 「 11 !
 
」 ， 即 39,916,800 種 。 這 數目 還 能不能 再 減 得 更 低 呢 ？ 可以 的 。 箭頭 所 指 的 六 行 必須 有 相同 的 總和 ， 而 這 個 「 幻六角星 常數 」 不 是 奇數 就 是 偶數 ； 如果 不 把 旋轉 、 鏡射 及 互補 的 情形 列入 ， 你 就 不 難 發現 ， 只 有 三 種 方式 可以 將 1 到 12 的 數字 安排 在 六角形 當中 （ 見 圖 28.2 ） 。 我 應該 解釋 一下 互補 的 意思 。 不管 是 幻方 或 幻六角星 都 一樣 ， 以 填入 的 最 大 數字 加 1 ， 再 減去 格子 內 的 每 一 個 數字 ， 就 可以 得到 互補數 。 若 以 中國 的 「 洛書 」 （ 即 3 × 3 幻方 ） 為 例 ， 見 圖 28.3 ， 最 大 數 9 加 1 等於 10 ， 如果 用 10 減去 每 個 數字 ， 再 用 減 後 之餘 數 分別 取代 每 個 數字 ， 就 可以 得到 互補 的 幻方 了 ， 即 如 圖 28.4 所 示 。 請 注意 ， 在 這 個 例子 中 ， 互補 方陣 經過 旋轉 和 鏡 射 ， 就 會 與 原來 的 方陣 完全 相同 了 。 但 若是 幻六角星 ， 則 互補 的 六 角 星 絕對 與 原來 不同 ， 不過 差異 不會 很 大 。 例如 圖 28.2 的 三 個 星形 ， 其 互補 星形 便是 用 0 取代 每 個 1 、 用 1 取代 每 個 0 而 產生 ； 在 這裡 ， 每 個