鏡 射 的 結果 ， 數目 就 會 降到 「 11 !
 
」 ， 即 39,916,800 種 。 這 數目 還 能不能 再 減 得 更 低 呢 ？ 可以 的 。 箭頭 所 指 的 六 行 必須 有 相同 的 總和 ， 而 這 個 「 幻六角星 常數 」 不 是 奇數 就 是 偶數 ； 如果 不 把 旋轉 、 鏡射 及 互補 的 情形 列入 ， 你 就 不 難 發現 ， 只 有 三 種 方式 可以 將 1 到 12 的 數字 安排 在 六角形 當中 （ 見 圖 28.2 ） 。 我 應該 解釋 一下 互補 的 意思 。 不管 是 幻方 或 幻六角星 都 一樣 ， 以 填入 的 最 大 數字 加 1 ， 再 減去 格子 內 的 每 一 個 數字 ， 就 可以 得到 互補數 。 若 以 中國 的 「 洛書 」 （ 即 3 × 3 幻方 ） 為 例 ， 見 圖 28.3 ， 最 大 數 9 加 1 等於 10 ， 如果 用 10 減去 每 個 數字 ， 再 用 減 後 之餘 數 分別 取代 每 個 數字 ， 就 可以 得到 互補 的 幻方 了 ， 即 如 圖 28.4 所 示 。 請 注意 ， 在 這 個 例子 中 ， 互補 方陣 經過 旋轉 和 鏡 射 ， 就 會 與 原來 的 方陣 完全 相同 了 。 但 若是 幻六角星 ， 則 互補 的 六 角 星 絕對 與 原來 不同 ， 不過 差異 不會 很 大 。 例如 圖 28.2 的 三 個 星形 ， 其 互補 星形 便是 用 0 取代 每 個 1 、 用 1 取代 每 個 0 而 產生 ； 在 這裡 ， 每 個 1 都 代表 1 到 12 的 每 個 奇數 ， 0 則 代表 1 到 12 的 每 個 偶數 。 如果 不 考慮 旋轉 、 鏡射 及 互補 的 情形 ， 這 三 種 奇／偶 模式 便 可 用來 產生 幻六角星 常數 的 上 、 下 界限 。 模式 ( a ) 當中 ， 所有 偶數 （ 以 0 代表 ） 都 排 在 外圍 的 三角形 ， 全部 加起來 是 42 ， 而 因 每 個 數字 都 會 出現 在 箭頭 所 指 的 不同 兩 行 ， 於是 42 乘以 2 變成 84 ， 這 就 是 偶數 在 全部 六 行 總和 中 所 占 的 部分 。 而 奇數 在 模式 ( a ) 排 在 裡面 的 三角形 ， 全部 加起來 是 36 ， 而 由於 每 個 數字 會 出現 在 箭頭 所 指 的 不同 三 行 中 ， 因此 將 36 乘以 3 得 到 108 ， 這 是 奇數 在 全部 六 行 總和 中 所 占 的 部分 。 所有 行 的 總和 加 在一起 ， 會 等於 84＋ ＝ 192 ， 而 一共 有 六 行 ， 所以 這 個 模式 的 各 行 總和 常數 便 是 192 除 以 6 得 到 32 ； 也 就是說 ， 假設 1 到 12 可以 用 模式 ( a ) 排 在 六角星 裡 形成 幻六角星 ， 則 幻六角星 常數 為 32 。 結果 ， 沒有 這 種 模式 ( a ) 的 解 。 再 看看 模式 ( b ) 和 ( c ) 吧 。 它們 內部 的 三角形 各 有 四 個 奇數 和 兩 個 偶數 ， 而 為 了 使 幻六角星 常數 盡可能 地 小 ， 我們 在 內部 的 三角形 裡 （ 其中 每 個 數字 都 會 出現 在 不同 的 三 行 中 ） 放入 四 個 最 小 的 奇數 （ 即 1 、 3