模式 的 各 行 總和 常數 便 是 192 除 以 6 得 到 32 ； 也 就是說 ， 假設 1 到 12 可以 用 模式 ( a ) 排 在 六角星 裡 形成 幻六角星 ， 則 幻六角星 常數 為 32 。 結果 ， 沒有 這 種 模式 ( a ) 的 解 。 再 看看 模式 ( b ) 和 ( c ) 吧 。 它們 內部 的 三角形 各 有 四 個 奇數 和 兩 個 偶數 ， 而 為 了 使 幻六角星 常數 盡可能 地 小 ， 我們 在 內部 的 三角形 裡 （ 其中 每 個 數字 都 會 出現 在 不同 的 三 行 中 ） 放入 四 個 最 小 的 奇數 （ 即 1 、 3 、 5 、 7 ） ， 以及 兩 個 最 小 的 偶數 （ 2 和 4 ） ， 則 內部 數字 的 總和 是 22 ， 將 它 乘以 3 得 到 66 。 而 外圍 的 三角形 則 放入 奇數 的 9 和 11 ， 以及 偶數 的 6 、 8 、 10 、 12 ， 它們 加起來 為 56 ； 由於 每 個 數字 會 出現 在 兩 行 裡 ， 因此 將 56 乘以 2 得 到 112 ， 再 將 66 加上 112 得 到 178 。 我們 知道 這 總數 必定 是 6 的 乘積 ， 因為 箭頭 所 指 的 六 行 必須 有 相同 的 總和 ， 所以 我們 要 找到 大於 178 且 是 6 的 乘積 的 最 小 數目 ， 那 就 是 180 ； 以 180 除 以 6 得 到 30 ， 這 便 是 模式 ( b ) 和 ( c ) 的 幻六角星 常數 的 下限 。 若要 得到 上限 ， 則 將 兩 個 最 大 的 偶數 （ 10 、 12 ） 以及 四 個 最 大 的 奇數 （ 5 、 7 、 9 、 11 ） 放 在 內部 的 三角形 裡 ， 加起來 是 54 ， 乘以 3 等於 162 。 外圍 的 數字 （ 1 、 2 、 3 、 4 、 6 、 8 ） 加起來 是 24 ， 乘以 2 等於 48 。 162 加 48 等於 210 ， 用 210 除 以 6 得 出 35 ， 這 便 是 模式 ( b ) 和 ( c ) 的 幻六角星 常數 的 上限 。 於是 ， 如果 這樣 的 幻六角星 真的 存在 ， 則 我們 知道 幻六角星 常數 必定 是 30 、 31 、 32 、 33 、 34 或 35 。 知道 了 這 一 點 ， 也 知道 奇數 和 偶數 究竟 要 如何 安排 才 能 構成 幻六角星 之後 ， 三 位 作者 便 能 將 電腦 程式 簡化 到 容易 處理 的 長度 了 。 經過 電腦 計算 後 ， 三 位 作者 大吃一驚 ， 結果 只 得到 一 種 解答 ！ 解答 如 圖 28.5 左邊 所 示 ， 右 圖 則 是 其 互補數 （ 以 12 ＋ 1 ＝ 13 去 減 每 個 數字 ） 。 三 位 作者 寫道 ： 「 發現 這 漂亮 的 解答 後 ， 我們 便 衝出 浴室 ， 在 街 上 高喊 『 找到 了 ！ 』 （ Eureka ， 這 是 阿基米德 的 名言 。 ） 」 這 兩 個 模式 構成 絕妙 的 謎題 ： 將 1 到 12 的 數字 放 在 六 角 星形 中 ， 使 每 行 相加 為 33 或者 每 行 相加 為 32 ， 兩 者 都 只 有 獨一無二 的 解答 。 請 注意 ， 在 左 圖 中 ， 兩兩 相對 尖角 的 兩 個 數加起來 都 是 12