數字 會 出現 在 兩 行 裡 ， 因此 將 56 乘以 2 得 到 112 ， 再 將 66 加上 112 得 到 178 。 我們 知道 這 總數 必定 是 6 的 乘積 ， 因為 箭頭 所 指 的 六 行 必須 有 相同 的 總和 ， 所以 我們 要 找到 大於 178 且 是 6 的 乘積 的 最 小 數目 ， 那 就 是 180 ； 以 180 除 以 6 得 到 30 ， 這 便 是 模式 ( b ) 和 ( c ) 的 幻六角星 常數 的 下限 。 若要 得到 上限 ， 則 將 兩 個 最 大 的 偶數 （ 10 、 12 ） 以及 四 個 最 大 的 奇數 （ 5 、 7 、 9 、 11 ） 放 在 內部 的 三角形 裡 ， 加起來 是 54 ， 乘以 3 等於 162 。 外圍 的 數字 （ 1 、 2 、 3 、 4 、 6 、 8 ） 加起來 是 24 ， 乘以 2 等於 48 。 162 加 48 等於 210 ， 用 210 除 以 6 得 出 35 ， 這 便 是 模式 ( b ) 和 ( c ) 的 幻六角星 常數 的 上限 。 於是 ， 如果 這樣 的 幻六角星 真的 存在 ， 則 我們 知道 幻六角星 常數 必定 是 30 、 31 、 32 、 33 、 34 或 35 。 知道 了 這 一 點 ， 也 知道 奇數 和 偶數 究竟 要 如何 安排 才 能 構成 幻六角星 之後 ， 三 位 作者 便 能 將 電腦 程式 簡化 到 容易 處理 的 長度 了 。 經過 電腦 計算 後 ， 三 位 作者 大吃一驚 ， 結果 只 得到 一 種 解答 ！ 解答 如 圖 28.5 左邊 所 示 ， 右 圖 則 是 其 互補數 （ 以 12 ＋ 1 ＝ 13 去 減 每 個 數字 ） 。 三 位 作者 寫道 ： 「 發現 這 漂亮 的 解答 後 ， 我們 便 衝出 浴室 ， 在 街 上 高喊 『 找到 了 ！ 』 （ Eureka ， 這 是 阿基米德 的 名言 。 ） 」 這 兩 個 模式 構成 絕妙 的 謎題 ： 將 1 到 12 的 數字 放 在 六 角 星形 中 ， 使 每 行 相加 為 33 或者 每 行 相加 為 32 ， 兩 者 都 只 有 獨一無二 的 解答 。 請 注意 ， 在 左 圖 中 ， 兩兩 相對 尖角 的 兩 個 數加起來 都 是 12 ， 右 圖 則 是 14 。 還 有 一 個 更 古老 的 幻六角星 難題 ， 目前 已經 徹底 研究 過 了 ： 將 1 到 12 放進 傳統 「 大衛 之 星 」 的 各 個 頂點 ， 如 圖 28.6 所 示 。 由於 每 個 數字 都 會 出現 在 不同 的 兩 行 裡 ， 因此 各 行 數目 的 總和 會 是 1 到 12 的 總和 之 兩 倍 （ 78 × 2 ＝ 156 ） ， 而 一共 有 六 行 ， 因此 156 / 6 = 26 ， 這 即 是 幻六角星 常數 。 英國 謎題 專家 杜得尼 （ Henry Ernest Dudeney, 1847-1930 ） 在 《 現代 謎題 》 書 中 說 ， 上述 問題 有 37 種 基本 解答 ， 而 如果 互補 的 情形 也 算 在 內 就 有 74 種 。 杜得尼 很少 出錯 ， 這 卻 是 其中 之 一 ， 他 少 算了 三 種 基本 形式 。 克里斯欽堤爾 （ Von J. Christian Thiel ） 在 德國 期刊 《 阿基米德 》 （ Vol.5, 1963.9, pp.65-72 ） 列出 15 種 基本 解答 ， 還 運用