也 在 同 一 章 說明 ， 如何 將 傳統 六 角 星 解法 的 數字 移轉到 立方體 的 十二 個 邊 ， 使 每 個 面 的 四 邊 數字 加起來 總和 為 26 ； 此外 ， 由於 立方體 和 八面體 可 說 是 「 雙胞胎 」 （ 面 和 頂點 互換 ） ， 因此 同樣 的 數字 可以 置於 八面體 的 邊 上 ， 使 環繞 各 個 頂點 的 四 個 邊 加起來 總和 是 26 。 圖 28.9 便 顯示 如何 將 六 角 星 的 解法 移轉到 幻立方 及 幻八面體 上 。 六 角 星 的 第三 種 變化 形式 ， 是 在 傳統 結構 加上 三 條 對角線 ， 如 圖 28.10 所 示 。 問題 則 是 這樣 ： 是否 能 將 數字 1 到 19 放 在 各 個 頂點 ， 使 每 條 線 上 五 個 點 加起來 的 總和 相等 ？ 美國 北卡羅萊納 州立 大學 的 萊特 （ Harold Reiter ） 在 《 數學 教師 》 （ 1983.3, pp.174-77 ） 期刊 所 發表 的 〈 幻 五 角 星 〉 一 文 ， 便 提出 這 個 問題 以 尋求 答案 。 藉著 不斷 嘗試 並 修正 錯誤 ， 我 終於 發現 解決 方式 ， 如 圖 28.10 所 示 ： 將 1 、 2 、 3 、 4 、 5 、 6 放 在 外圈 的 頂點 上 ， 總和 常數 為 46 ， 而 它 的 互補 （ 以 19 ＋ 1 ＝ 20 減 每 個 數字 ） 則 將 14 、 15 、 16 、 17 、 18 、 19 放 在 內 圈 頂點 ， 使 總和 常數 提高 到 54 。 想 用 粗略 的 電腦 演算法 找出 這 問題 的 所有 解答 是 不可能 的 ， 因為 必須 檢查 19 !
 
/ 12 種 可能 的 排列 方式 。 萊特 和 他 的 同事里奇 （ David Ritchie ） 寫 了 一 篇 文章 〈 幻六角星 問題 的 完整 解答 〉 ， 刊登 於 《 大學 數學 期刊 》 1989 年 9 月 ， 說 他們 採用 了 巧妙 的 捷徑 ， 使 演算法 只 需 檢查 18,264,704 種 形式 ， 結果 不 到 五 分鐘 ， 他們 的 Pascal 程式 就 找到 2,190 種 基本 解法 （ 不 包含 旋轉 、 鏡 射 和 互補 ） ； 如果 包含 互補 的話 就 有 4,380 種 解法 ， 總和 常數 則 從 46 到 54 不 等 。 萊特 難題 中 的 六 角 星 模式 是 個 很 有趣 的 問題 ， 它 解決 了 一 個 古老 的 植樹 謎題 ： 將 19 棵 樹 種成 6 行 ， 每 一 行 都 必須 有 4 棵 樹 。 我 將 這 種 模式 運用 在 一 個 我 稱為 「 所 羅門 」 的 遊戲 ， 與 西洋棋 很 類似 。 美國 數學家 伯恩 哈特 （ Frank Bernhart ） 曾 為 文 指出 ， 許多 有 著 頂點 和 直線 的 對稱 模式 ， 其 排列 組合 的 意義 相當於 萊特 的 六角星 ， 因此 有 同樣 一 套 解法 ， 圖 28.11 便 為 其中 三 種 。 傳統 的 六 角 星 顯然 包含 8 個 不同 的 三角形 ， 如 圖 28.1 所 示 的 改良式 六角星 則 有 20 個 三角形 （ 許多 古老 的 謎題書 便 以 此 為題 ） 。 你 在 萊特 的 六 角 星 中 可以 找到 多少 個 不同 的 三角形 ？ 要 把 它們 全部 算 清楚 可 不 太 容易 喔 。 註釋 * 本 文 原先 刊登 於 《 大學 數學 期刊 》 2000 年 9 月 。