它們 是 源自於 幾何學家 嘗試 將 黎曼面 從 複一維 推廣到 多維 ， 並 從 數學 上 刻畫 這些 推廣 結果 之間 差別 的 努力 。 這 把 我們 帶到 一 個 重要 定理 ： 高斯-博 內 定理 ， 它 適用 於 緊緻 黎曼曲面 ， 以及 其他 任何 無 邊界 的 緊緻 曲面 。 （ 「 邊界 」 在 拓樸 中 的 定義 很 直觀 ： 圓盤 是 有 邊界 的 ， 亦即 有 明確 界定 的 邊緣 ， 而 球面 則 沒有 。 在 球面 上 ， 不管 你 朝 哪 個 方向 走 而且 不 管 走 多 遠 ， 都 不會 碰到 或 接近 任何 邊緣 。 ） 這 個 定理 是 在 十九世紀 時 由 高斯 和 法國 數學家 博內 （ Pierre Bonnet ） 所 提出 的 ， 它 建立 了 曲面 的 幾何 性質 及 其 拓樸 性質 之間 的 關係 。 高斯-博 內 公式 是 說 ， 上述 曲面 的 總高斯曲率 （ 或 高斯曲率 的 積分 ） 等於 2 π 乘 以 該 曲面 的 「 歐拉示性 數 」 （ Euler characteristic ） 。 而 歐拉示性 數 χ （ 希臘 字母 chi ） 則 又 等於 22g ， 其中 g 是 曲面 的 虧格 （ 也 就 是 曲面 的 「 洞 」 數 或 「 把 手 」 數 ） 。 舉例 來 說 ， 二維球面 沒有 洞 ， 所以 它 的 歐拉示性 數 是 2 。 在 此 之前 ， 歐拉 提出 了 另 一 條 求 任何 多 面體 歐拉示性 數 的 公式 ： χ = VE + F ， 其中 V 是 頂點數 ， E 是 邊 數 ， F 是 面數 。 以 四面體 為 例 ， χ = 46 + 4 = 2 ， 與 球面 的 χ 值 相同 。 一 個 立方體 有 8 個 頂點 、 12 個 邊 和 6 個 面 ， 所以 χ = 812 + 6 = 2 ， 再次 和 球面 相同 。 因為 歐拉示性 數 只 和 物體 的 拓樸 、 而 非 幾何 形狀 有關 ， 那麼 這些 幾何 相異 、 但 拓樸 相同 的 物體 有 著 相同 的 χ 值 當然 很 合理 。 歐拉示性 數 χ 是 空間 的 第一 個 主要 的 「 拓樸 不 變量 」 ， 也 就 是 在 拓樸 等價 但 外觀 可能 極為 不同 的 各 個 空間 上 （ 例如 球面 、 四面體 和 立方體 ） ， 都 能 維持 不變 的 性質 。 再 回到 高斯-博 內 公式 。 由 此 ， 二維球面 的 總高斯曲率 是 2 π 2 = 4 π 。 至於 二維 環面 ， 因為 它 的 χ 是 0 （ 22g = 22 = 0 ） ， 所以 環面 的 總高斯曲率 是 0 。 把 高斯-博 內 的 原理 推廣到 更 高 維 ， 就 會 把 我們 帶到 陳氏類 。 陳氏類 是 由 我 的 指導 老師 陳省身 所 發展 的 理論 ， 是 一 種 在 數學 上 刻畫 不同 複流形 的 概略 方法 。 簡單 來 說 ， 如果 兩 個 流形 的 陳氏類 不同 ， 它們 就 不可能 相同 。 反之 卻 不一定 成立 ： 兩 個 不同 的 流形 可能 具有 相同 的 陳氏類 。 複一維 的 黎曼面 只 有 一 個 陳氏類 ， 即 第一 陳氏類 ， 而 在 這 個 情況 ， 正好 等於 歐拉示性 數 。 一 個 流形 的 陳氏類 數目 ， 視 其 維數 而 定 ， 例如 複二維 的 流形 具有 第一 和 第二 陳氏類 。 至於 弦論 所 關心 的 複三維 （ 或 實六維） 流形 ， 則 有 三 個 陳氏類 。 它 的 第一 陳氏類 為 六 維 空間 中 的 實