愈 小 面積 的 世界 面 愈 大 的 權數 。 但是 在 做完 加權 平均 後 （ 也 就 是 在 所有 世界面 所 構成 的 空間 上 做完 積分 後 ） ， 得到 的 二維量子場論 是 不 是 仍 保持 保角 不變性 呢 ？ 結果 是 答案 和 所有 世界面 所 構成 空間 的 度量 選取 有關 ， 有 些 可以 得到 期望 中 的 保角場論 結果 ， 但 有 些 則 否 。 想 知道 某 個 度量 是否 保持 伸縮 或 保角 不 變性 ， 要 計算 所謂 的 β 函數 ， 這 個 函數 測量 保角性 的 偏差 程度 。 如果 β 函數 的 值 是 零 ， 那麼 將 世界面 放大 或 縮小 時 ， 物理 性質 並 不會 改變 ， 如果 你 希望 得到 能 保角 的 理論 ， 這 當然 是 好 消息 。 我們 一般 假設 β 函數 在 黎奇曲率 是 零 的 情況 會 等於 零 （ 就 像 卡拉 比 - 丘流形 的 情況 ） 。 不幸 的 是 ， 就 像 我們 曾經 討論 過 的 許多 複雜 方程式 一樣 ， β 函數 並 無法 明確 計算 。 取代 的 方法 是 利用 稱為 冪級數 的 無窮級數 來 逼近 ， 當 計算 的 級數 項 愈 多 ， 結果 就 愈 精確 。 想像 下述 的 例子 ， 應 會 讓 你 更 明白 這 個 過程 。 假設 我們 想 計算 一 個 球 的 表面積 ， 可以 利用 一 張 鐵絲網 格 將 球 包覆 起來 ， 來 幫助 我們 計算 。 如果 你 的 網格 只 有 一 個 迴圈 ， 當然 沒有 什麼 大用 ， 但是 如果 你 像 正 四面體 一樣 ， 用 了 四 個 三角形 迴圈 ， 顯然 會 得到 好 很多 的 逼近值 。 假如 將 迴圈 數 增加 到 12 （ 例如 正 12 面體 中 的 五 邊 形迴圈 ） ； 或者 20 個 迴圈 （ 例如 正 20 面體 中 的 三角形 迴圈 ） ， 就 會 得到 更 佳 的 逼近值 。 β 函數 的 冪級數 和 這 個 例子 很 類似 ， 它 的 級數 項 也 稱為 迴圈 。 如果 你 只 計算 一 項 ， 稱為 一迴圈 β 函數 ； 如果 計算 前 兩 項 ， 則 稱為 二迴圈 β 函數 ， 以 此 類推 。 麻煩 發生 在 加入 更多 迴圈 的 時候 。 打 一 開始 ， β 函數 的 計算 就 很 困難 ， 隨著 迴圈數 的 增加 ， 難度 更 大 ， 計算 更 冗雜 。 然而 計算 的 結果 顯示 ， 冪級數 的 前 三 項 都 是 零 ， 這 和 預測 的 零 相同 ， 讓 物理學家 信心 大增 。 不過 ， 目前 在 加拿大 麥吉爾 大學 的 物理學家 格利沙魯 （ Marcus Grisaru ） 與 他 的 兩 位 合作 夥伴 安東 ． 凡德文 （ Anton van de Ven ） 與 查儂 （ Daniela Zanon ） 在 1986年 發表 了 一 篇 論文 ， 他們 計算出 四迴圈 β 函數 並 不 等於 零 ； 而且 格利沙魯 和 其他 人 的 後續 計算 得到 五迴圈 β 函數 也 不 等於 零 。 對 卡拉 比 - 丘流形 在 物理學 中 的 地位 ， 這 猶如 是 一 拳 重擊 ， 因為 這 表示 其 度量 並 不 容許 保角 不 變性 。 「 身為 弦論 與 超對稱 的 信仰 者 ， 我們 的 發現 值得 憂心 。 」 格利沙魯 說 ： 「 雖然 一方面 很 高興 這 項 結果 讓 我們 更 聲名 狼籍 ， 但 你 通常 並 不 希望 這 份 惡名 得 自於 損毀 一 棟 美麗 的 建築 。 儘管 如此 ， 我 對