必須 用到 幾何學 。 正 如 瓦法 所 云 ： 「 大自然 四 種 作用力 都 需要 幾何學 的 支撐 ， 其中 電磁力 、 弱核力 、 強 核力 這 三 種 力 ， 更 需要 利用 對稱性 來 相互 連結 。 」 6 標準 模型 將 這 三 種 作用力 與 它們 各自 對應 的 對稱 （ 規範 ） 群 編織 在一起 。 強 核力 對應到 三階 特殊 么正群 SU ( 3 ) ； 弱 核力 對應到 二階 特殊 么正群 SU ( 2 ) ； 而 電磁力 則 對應到 一 階 么正群 U ( 1 ) 。 將 空間 中 的 旋轉 作用 在 圓球 上 ， 結果 圓球 看起來 並 沒有 不同 ， 像 這樣 的 情況 ， 我們 說 旋轉 構成 圓球 的 對稱群 。 因此 一般 所謂 對稱群 ， 就 是 一 組 類似 旋轉 操作 的 集合 ， 當 它們 作用到 某 物體 時 ， 不論 作用 幾 次 ， 該 物體 自始至終 都 沒有 什麼 改變 。 以上 三 種 群 最 容易 描述 的 群 是 U ( 1 ) ， 它 是 由 平面 上 所有 讓 圓 保持 不變 的 旋轉 所 構成 的 群 ， 這 是 一 個 一 維 的 對稱群 ， 因為 它 固定 繞 著 通過 圓心 的 垂直 軸 旋轉 。 SU ( 2 ) 是 三 維 的 對稱群 ， 和 三 維 空間 的 旋轉 有關 。 SU ( 3 ) 是 一 個 八 維 的 對稱群 ， 只 是 它 的 對稱 作用 並 不 是 簡單 的 旋轉 。 （ 有 一 個 簡單 規則 是 群 SU ( n ) 的 維度 是 。 ） 這 三 個 對稱群 的 維度 可以 加起來 ， 使得 標準 模型 的 整體 對稱 維度 是 12 （ 1 + 3 + 8 = 12 ） 。 由於 卡拉 比 - 丘流形 是 愛因斯坦 方程 的 解 ， 因此 卡拉 比 - 丘流形 的 特殊 幾何 可以 說明 模型 中 的 重力 部分 ， 不過 這些 流形 也 能夠 解釋 標準 模型 中 的 其他 作用力 嗎 ？ 怎麼 做 呢 ？ 要 回答 這些 問題 ， 恐怕 得 繞 點 遠路 。 當今 的 粒子 物理學 架構 ， 是 量子場論 ， 其中 所有 作用力 以及 所有 粒子 都 用場 來 表示 。 如果 掌握 了 這些 遍布 在 四維 時空 中 的 場 ， 就 可以 推導出 相應 的 作用力 。 而 這些 作用力 可以 用 向量 來 表示 ， 向量 既有 方向 又 有 長度 ， 因此 在 空間 中任 一點 的 物體 ， 可以 感受到 往 某 特定 方向 以及 特定 力道 的 推 或 拉 的 力量 。 例如 在 太陽系 中 的 任意 位置 ， 重力 會 作用 在 其中 的 任何 物體 （ 如 行星 或 彗星 ） ， 把 它 往 太陽 方向 拉 ， 而 作用力 的 大小 則 視 該 物體 與 太陽 的 距離 而 定 。 類似 的 ， 電磁力 則 是 作用 在 佔據 某 個 位置 的 帶 電 粒子 上 ， 作用力 的 方向 和 大小 ， 則 與 它 和 其他 帶 電 粒子 的 電荷 與 位置 有關 。 標準 模型 並 不僅 是 一般 的 場論 ， 而是 一 種 特別 稱為 「 規範 理論 」 （ gauge theory ） 的 場論 ， 透過 物理學家 楊振寧 與 米爾斯 的 研究 ， 規範場論 在 1950年代 獲得 長足 的 進展 。 這 個 理論 的 根本 想法 是 ， 標準 模型 將 上述 的 對稱 群 結合成 一 個 混合式 的 對稱群 ， 即 SU ( 3 ) SU ( 2 ) U ( 1 ) 。 比較 特別 的