在 球 上 畫 一 點 作 記號 ， 然後 要求 旋轉 時 ， 不能 移動 這 一 點 。 以 地球 為 例 ， 我們 可以 選擇 北極 作為 這 個 特殊 的 點 ， 這樣 就 只 剩下 繞 著 赤道 的 旋轉 （ 也 就 是 繞 著 南北 極 軸 的 旋轉 ） 會 固定 北極點 不變 。 這麼一來 ， 本來 球 上 的 三維 對稱群 就 遭受到 破壞 ， 變成 較 小 的 一 維 群 U ( 1 ) ， 這 就 是 對稱 破 缺 的 原理 。 7 在 我們 討論 的 雜弦 理論 裡 ， 給定 的 十 維 時空 具有 稱為 E8 × E8 的 對稱性 。 E8 是 一 個 248 維 的 對稱群 ， 可以 想成 一 個 具有 248 分量 的 規範場 （ 就 像 三 維 空間 中 的 向量 可以 用 分量 x 、 y 、 z 來 描述 一樣 ） 。 而 E8E8 是 一 個 更 大 的 對稱群 ， 它 的 維度 是 248 + 248 = 496 。 基於 實際 的 考量 ， 我們 暫時 先 忽略 第二 個 E8 。 當然 ， 就算 只 有 一 個 E8 ， 也 還是 要 面臨 如何 重新 構造出 標準 模型 的 難題 ， 因為 標準 模型 只 有 十二 維 ， 我們 要 如何 將 E8 的 248 維 對稱 群 「 破壞 」 到 只 剩下 十二 維 呢 ？ 為 了 能 「 降落 」 到 四維 時空 與 具 十二維 對稱 群 的 標準 模型 ， 就 必須 找到 某 種 破壞 E8 規範群 對稱性 的 方法 。 我們 可以 特別 選擇 E8 中 某 個 特別 的 結構 方式 ， 使得 那 248 個 分量 有 的 打開 、 有的 關掉 ， 我們 尤其 希望 只 關掉 其中 12 個 分量 ， 就 好像 固定 球 上 的 北極 一樣 。 不過 這 12 個 分量 不能 任意 選取 ， 它們 必須 能 剛好 與 SU ( 3 ) SU ( 2 ) U ( 1 ) 對稱 群 一致 。 也就是說 ， 破壞 了 這 個 龐大 的 E8 群 後 ， 在 四維 時空 中 剩下 的 應該 就 是 標準 模型 的 規範場 。 對稱 被 破壞 的 其他 規範場 並 沒有 消失 ， 被 打開 的 特徵 表示 它們 存在 於 高能 的 狀態 ， 普通人 完全 無法 接觸到 。 你 可以 說 E8 多出來 的 對稱性 ， 隱藏 在 卡拉 比 - 丘流形 中 。 縱然 如此 ， 光 只 有 卡拉 比 - 丘流形 仍然 不 足以 重建出 標準 模型 ， 這 就 是 為什麼 需要 叢 的 原因 。 給定 一 個 流形 ， 叢 的 定義 是 在 該 流形 的 每 一 點 上 繫 附 一 組 向量 （ 更 專業 一點 的 名稱 是 「 向量叢 」 〔 vector bundle 〕 ） 。 最 簡單 的 一 類 叢 是 「 切叢 」 （ tangent bundle ） ， 任何 卡拉 比 - 丘流形 都 有 自己 的 切叢 ， 不過 因為 切叢 比 卡拉 比 - 丘流形 本身 更 難 描述 ， 我們 不妨 先 看看 二維球面 的 切叢 。 在 球 表面 選取 一點 ， 畫 兩 個 該 點 的 切 向量 ， 這 兩 個 向量 決定 了 該 點 的 切面 （ 也 可以 用 切面 上 的 圓盤 來 代表 ） 。 如果 我們 在 每 一 點 都 畫 一 個 切面 ， 再 把 全部 的 切面 （ 或 圓盤 ） 集合 起來 ， 所 形成 的 整體 就 是 球面 的 切叢 。 或許 你 注意到 ， 切叢 一定 包含