的 ： 只要 時間 夠 長 ， 這樣 的 步行 者 造訪 每 一 個 交叉點 的 次數 是 無限 多 次 ！ 假設 兩 個 步行 者 在 一 個 無限 延展 的 方形 格子 裡 隨意 行走 ， 他們 是 不 是 一定 會 碰面 呢 ？ （ 如果 兩 人 剛 開始 時 的 距離 有 奇數 步 之 遙 ， 而 每 人 每 次 同時 走 一 步 ， 那麼 就 絕不 會 在 任何 一 個 角落 碰面 ， 不過 倒是 可能 在 某 個 線段 的 中央 碰 在一起 。 ） 這 問題 的 答案 跟 之前 一樣 ， 只要 走 得 夠 久 ， 他們 將 碰面 無限 多 次 。 而 如果 是 三 個 人 每 次 同時 走 一 步 ， 都 在 無窮 延伸 的 格子 上 行走 ， 而且 任 二 者 的 起點 相距 都 是 偶數 步 之 遙 ， 那麼 三 人 肯定 會 在 某 個 角落 碰面 ； 不過 ， 三 個 人 會 在 特定 角落 碰面 的 機率 比 1 小 。 至於 對 四 個 或 更多 個 步行 者 來 說 ， 眾人 同時 在 某 個 地方 碰面 的 機率 也 會 變 得 比 1 小 。 一旦 我們 把 平面 格子 推廣到 空間 格子 ， 最 讓 人 意想不到 的 事 就 發生 了 。 如果 這樣 的 格子 （ 不見得 是 立方體 ） 是 有限 的 ， 隨機 步行 者 實際 上 肯定 會 在 有限 步數 內 走到 任意 一 個 交叉點 。 誠如 凱梅尼 所 說 ， 如果 你 身處 於 一 棟 大 建築物 內 ， 裡面 布滿 複雜 的 走廊 與 樓梯 ， 只要 你 在 建築物 裡 隨機 行走 ， 總 能 在 有限 步數 內 找到 一 個 出口 。 不過 ， 如果 格子 是 無限 的 ， 情況 就 不 是 這樣 了 。 波利亞 早 在 1921 年 就 已 證明 ， 在 這樣 的 格子 中 ， 步行 者 走到 （ 即使 永遠 一直 走下去 ） 任意 一 個 指定 角落 的 機率 會 比 1 還 小 。 麥克雷 與 惠普爾 （ 1876-1943 ） 在 1941 年 也 已 證明 ， 隨機 步行 者 在 無限 延伸 的 正 立方 格子 裡 閒逛 無限 久 之後 ， 走回 原先 起點 的 機率 是 0.35 。 接下來 ， 我們 把 思考 對象 從 平面 格子 改成 平面 本身 ， 容許 步行 者 可 朝 隨機 選擇 的 任意 方向 走 一 步 。 從 某些 方面 來 說 ， 情況 變 複雜 了 ， 但 另 一些 方面 卻 變 簡單 了 。 舉例 來 說 ， 以 固定 步幅 走 了 n 步 之後 ， 步行 者 與 起點 之間 距離 的 期望 （ 平均 ） 值 再 簡單 不過 了 ， 就 是 步幅 長度 與 n 的 平方根 的 乘積 。 愛因斯坦 在 1905年 （ 也 就 是 他 首 次 發表 著名 的 相對論 論文 那 年 ） 的 一 篇 分子 統計學 論文 裡 證明 了 這 點 。 （ 波蘭 物理學家 史莫羅喬斯基 〔 1872-1917 〕 也 自行 證明出 這 個 結果 ， 讀者 可以 在 俄裔 美籍 物理學家 加莫夫 的 《 一二三…… 無限 大 》 書 中 找到 簡單 的 證明 。 ） 至於 在 空間 中 以 不 連續 方式 隨機 行走 ， 也 遵循 同樣 的 平方根 公式 ； 與 平面 的 情形 一樣 ， 每 一 步 的 步幅 不見得 要 相同 ， 於是 走 了 n 步 之後 ， 步行 者 與 起點 之間 距離 的 期望值 ， 是 步幅 的 平均值 與 n 的 平方根