和 電影史 的 跨 學科 研究 ， 可能 會 發表 一 篇 博士 論文 來 證明 ET 行星 上 的 居民 使用 某 種 八進制 的 計數 系統 ， 因為 可以 從 電影 上 清楚 看出 ET 有 八 根 指頭 。 然而 ， 對於 住在 地球 上 的 人類 ， 最 容易 上手 的 計數 系統 是 十進制 。 電腦 的 基本 計數 配備 比較 簡單 。 這 是 一 個 電子 開關 （ 一 個 電晶體 ） ， 只 可能 是 開 或 關 。 這 兩 個 狀況 各 代表 一 個 數字 ； 開 代表 一而關 就 代表 G 。 這 種 兩 個 數字 的 計數 系統 ， 就 叫做 二進制 系統 。 就 像 人類 只 用 十 根 手指 ， 可以 數到 任何 數字 ， 無論 這 數字 有 多 大 ， 同樣 的 ， 電腦 用 兩 個 符號 也 可以 數到 任何 數字 。 電腦 就 像 人 一樣 ， 透過 定位 記法 來 做到 這 一 點 。 以 二進制 計數 ， 一 開始 就 像 十進制 ： 0 1 但 在 二進制 數字 裡 ， 轉折點 （ 新 欄位 ） 會 在 二 這 個 數字 出現 。 使用 二進制 ， 二進位數 的 「 一G 」 代表 一 個 「 二 」 — — 也 就 是 十 進位 中 的 二 。 二進制 的 「 一一 」 表示 一 個 十進位 的 「 二 」 加上 一 個 「 一 」 ， 也 就 是 「 三 」 。 寫 「 四 」 就 必須 再 加 另 一 欄 ， 寫 「 八 」 再 加 一 欄 ， 因此 就是 ：　 二進制 0 ■ 1 10 ■ 1■1 100 ■ 1■ 0 ■ 1 110 ■ 1 ■ 1■ 1 1000 即 十進制 0 1 2 3 __UNDEF__ 4 __UNDEF__ 5 __UNDEF__ 6 __UNDEF__ 7 8 就 以 這 種 方式 進行 下去 ， 直到 「 一一一一 」 這 個 數字 。 一一一一 __UNDEF__ 代表 一 個 「 一 」 加 一 個 「 二 」 __UNDEF__ 加 一 個 「 四 」 再 加 一 個 「 八 」 ， 也 就是 「 十五 」 。 換句話說 ， 在 二進制 數字 中 ， 第一 位 代表 一 ， 第二 位 代表 二 ， 第三 位 代表 四 ， 第四 位 代表 八， 第五 位 代表 十六 ， 視 需要 依 此 類推 。 隨機 選擇 一 個 數字 ， 二進制 的 ﹁ 一一 GG 一一一 G 」 ， 代表 （ 從 最 上面 的 數字 開始 ） ： 結果 是 ， 「 一一 GG 一一一 G 」 __UNDEF__ 恰好 就 和 十進制 表示 的 二G六 是 同樣 的 數字 。 這 個 量 並 沒有 改變 ； 唯一 不同 的 東西 就 是 用來 表示 它 的 字母 系統 ， 或 說 是 計數 系統 。 除了 某 個 發生 意外 而 失去 九 根 手指 的 人 之外 ， 一 種 完全 由 一 與 G 構成 的 計數 系統 ， 對 人類 來 說 並 不 怎麼 好用 。 但 二進制 系統 最 適合 數位 機器 ， 不 只是 因為 所有 的 數字 都 可以 利用 一串串 開 和關 的 電子 開關 來 表示 ， 同時 也 因為 二進制 算術 是 可行 的 最 簡單 數學 系統 。 在 小學 低年級 學習 基本 算術 時 ， 會 發現 十 進位 系統 需要 人們 熟記 幾百 個 「 數學 事實 」 — — 像是 二 加 二 等於 四 、 一七 減 九 等於 八 、 八 乘 七 等於 五六 等等 。 如果 學習 的 是 二進制 系統 ， 事情 就 會 簡單 得多 。 二進制 算術 只有 三 個 數學 事實 ：G 加 G 等於 G 、 一 加 G 等於 一 以及 一 加 一 等於 「 一 G 」 （ 這裡 的 一 G 當然 是 十 進位 裡 的 「 二 」 ） 。 這 種 極端 的 簡單 ， 對 電腦 設計師 來 說 簡直 是 恩賜 。 因為 它 確實 有 可能 在 機器 內部 以 電晶體 建構出 廣闊 的 迷宮 來 執行 二進制 減法 、 乘法 和 除法 ， 但 這 種 工作 非常 麻煩 。 然而 ， 幸虧 由於 某些 便利 的 數學 花招 ， 採用 二進制 系統 的 數位 機器 只 使用 加法 就 能 完成 任何 數值 運算 ， 而 這 只 需要 簡單 的 電路 系統 。 採用 「 一 補 數 減法 」 ︵ ones-complement ︶ 的 古老 把戲 ， 電腦 就 可以 利用 加法 來 解減法 的 問題 。 乘法 就 像 人類 在 萬古 以前 ， 還 沒有 發展出 九九 乘 法表 時 所 做 的 方式 ， 利用 一再 重複 的 加法 就 行 了 。 如果 你 要 你 的 計算器 做出 「 四 乘 一 GGG 」 的 乘法 ， 機器 就 會 引導 這些 數字 通過 一 系列 的 邏輯閘 ， 基本 上 就 是 將 一 個 二進制 的 四 放 在 儲存 位置 ， 然後 再 加上 九九九 次 四 ， 一 次 一 個 ， 就 能 得到 答案 。 同樣 ， 除法 也 可以 變成 一 系列 的 一 補 數 減法 。 在 大西洋 兩岸 ， 兩 個 很 有 智慧 ， 甚至 是 極 有 遠見 的 先知 ； 差不多 在 同 一 時間 洞察到 二進制 數學 正 適合 電子 計算機 這 件 事 。 在 一九四G 年代 晚期 ， 他們 就 已 預言 了 接下來 半 個 世紀 數位 電腦 的 發展 主軸 ， 而且 準確 得 驚人 。 這 兩 位 電腦 控制學 的 先驅 是 馮諾曼 （ John von Neumann , 1903 - 1957 ） 和 涂林 （ Alan M. Turing , 1912 - 1954 ） 。 馮諾曼 在 一九G 三年 生 於 布達佩斯 ， 父親 是 一 名 富有 的 銀行家 。 他 從小 就 被 視為 數學 神童 ， 青少年 時期 他 就 已 在 柏林 、 蘇黎世 、 布達佩斯 、 哥丁根 、 漢堡 等 地 的 知名 大學 修 課 。 十八 歲 就 發表 了 第一 篇 學術 論文 ， 後來 在 許多 不同 領域 也 有 了 關鍵性 的 著作 。 一九三 G 年 ， 他 隨著 一 群 流亡 的 歐洲 學者 西航 ， 來到 普林斯頓 ， 在 此 得到 教授職 ， 而且 成為 該 校 「 高等 研究院 」 的 第一 批 研究員 之 一 （ 這 批 研究員 裡 另 有 一 位 名叫 愛因斯坦 ） 。 馮諾曼 在 純粹 數學 方面 有 幾 項 重要 貢獻 ， 但 也 發表 了 應用 一些 數學 領域 的 重大 著作 ， 範圍 從 化學 工程 、 量子 物理學 到 經濟學 及 博奕論 （ 他 自己 構想出來 的 數學 概念 ， 說明 在 複雜 遊戲 裡 如何 獲勝 ） 。 第二次世界 大戰 期間 ， 馮諾曼 參與 原子彈 的 開發 ， 這 是 涉及 範圍 奇大 的 工程 任務 ， 先 不 提別 的 ， 它 需要 大量 的 數學 運算 。 一九四四年 的 某 一 天 ， 在 馬里蘭州 亞伯丁市 的 一 個 火車站 月台 上 ， 馮諾曼 正在 思考 攀登 這 座 數學 大 山 的 最佳 方法 ， 就 在 這 時候 ， 也許 是 純粹 的 運氣 ， 他 碰上 年輕 的 數學家 哥斯坦 。 他們 在 火車 上 閒聊 ， 哥斯坦 向 馮諾曼 提起 正在 費城 建造 的 新 ENIAC 電腦 — — 這 台