的 學習 速度 和 學習 態度 差異 很 大 ， 良好 的 整體 學習 氣氛 尚未 形成 ， 所以 課堂 進行 需 視 孩子 的 個別 情況 做 處理 ， 老師 得 視 實際 需要 拆 班 ， 或 進行 個別 補救 教學 ， 或 著重 孩子 學習 態度 的 培養 和 引發 ； 有的 班級 則 按部就班 的 進行 ， 完全 和 教師 在 學期 初 的 規劃 相符 。 兩 年 的 辦學 經驗 ， 大家 了 解 課堂 進度 的 快慢 ， 並 不 特別 代表 什麼 ， 孩子 的 學習 情況 ， 才 是 值得 重視 的 事 。 可是 不管 個別 班級 的 進度 如何 ， 各 個 老師 都 重視 孩子 實際 經驗 的 取得 ， 所以 看 數學科 上課 ， 是 非常 有意思 的 事 。 有時 數學 就 像是 美勞課 ， 因為 孩子們 正在 用 硬紙板 ， 努力 的 量製 各 種 角柱 或 角錐 ； 有時候 像是 遊戲課 ， 因為 一 大 群 孩子 正在 玩 射鏢 計點 ， 看 今日 誰 是 神射手 ； 有的 孩子 正 熱烈 進行 買進 賣出 的 交易 行為 ， 儼然 是 未來 的 商業 鉅子 ； 有時候 又 像 語文課 ， 因為 應用題 的 用語 解讀 ， 很 影響 孩子 對 問題 的 想像 和 理解 ； 當然 更多 的 時候 ， 它們 是 不折不扣 的 數學 討論 和 練習 ， 只 是 我們 不要 這些 練習 僅僅 是 機械性 的 操作 而已 。 所以 如果 你 問 學苑 三 、 四年級 的 學生 ， 一 公里 有 多 長 ？ 他 的 回答 可能 是 ： 「 從 學校 到 派出所 前面 轉彎 的 距離 。 」 這 是 他 的 切身 經驗 ， 老師 和 他們 一起 走過 ， 請 你 不要 懷疑 。 當然 ， 如果 你 的 問題 是 ： 「 一 公里 有 多少 公尺 ？ 」 那麼 ， 你 會 得到 你 想要 的 答案 ： 一千 公尺 ！ 【 卷 二 】 數學 常常 是 這樣 學會 的 孩子 怎樣 學會 數學 ？ 這 實在 是 很 有意思 的 事 。 雖然 在 學習 心理學 上 有 不同 的 說法 ， 我們 學苑 的 數學 顧問 們 ， 也 會 提出 這樣 那樣 的 意見 和 老師 們 做 討論 。 但是 因為 我 不 是 數學 專科 老師 ， 所以 這些 理論 常常 是 聽聽 就 過去 了 ； 倒是 從 師生 的 對話 中 ， 往往 可以 看到 一些 溫暖 的 火花 。 像 八 歲 的 宏宏 ， 是 這 學期 才 轉到 我們 學校 的 學生 ， 剛 來 時 對 大人 的 信任 很 低 ， 不大 肯 開口 說話 ， 進 課堂 的 意願 不 高 ， 對 作業 的 興趣 更 小 ， 所以 老師 很 難 知道 他 對 課程 內容 的 了解 究竟 多少 ？ 有 一 天 ， 他 的 數學 老師 發現 他 總是 在 操場 邊 的 草地 上 晃 ， 看 著 上面 的 蚱蜢 或 水塘 邊 的 青蛙 ， 於是 開始 嘗試 這樣 的 檢證性 對話 ： 「 宏宏 ， 我 上午 在 自然 步道 上 看到 三 隻 這 種 褐色 的 蛙 。 」 宏宏 的 眼睛 轉過來 看 著 老師 ， 老師 若無其事 的 說 ： 「 連 這裡 的 兩 隻 ， 我 一共 看到 六 隻 。 」 「 不 對 ！ 你 看到 五 隻 。 」 「 喔 ！ 如果 我 看到 了 五 隻 ， 你 看到 七 隻 ， 我們 兩 個 人 看到 幾 隻 ？ 」 「 十二 隻 。 」 「 如果 有 一 隻 青蛙 斷 了 一 條 腿 ， 那麼 三 隻 青蛙 會 有 幾 條 腿 ？ 」 … … 信不信 由 你 ， 此後 老師 發現 ， 只要 和 動植物 有關 的 數學 作業 ， 宏宏 就 肯 做 。 因為 他 「 有 感覺 」 ， 就 像 你 問 軒軒 十 除 以 三 是 多少 ？ 他 答 不 出來 。 但是 你 說 我 有 十 顆 糖 要 公平 的 分給 三 個 人 ， 他 就 知道 每 人 分 三 顆 ， 還 有 一 顆 多 的 要 還給 老師 。 這 種 由 具象 到 抽象 的 過程 要 多久 ？ 沒有 人 知道 。 可是 有時候 ， 可能 只要 一 堂 課 的 時間 ， 就 會 產生 令 人 驚奇 的 變化 。 十 歲 的 芸芸 在 學 除法 的 時候 ， 必須 藉 用 具體 的 10 和 1 來 思考 ， 有 一 天 他 畫 了 九 個 10 和 六 個 1 ， 來 幫助 自己 做 「 96 ÷4 」 的 式子 ， 他 一面 把 八 個 10 ， 每 兩 個 框 在一起 ； 再 把 剩下 的 一 個 10 和 六 個 1 連起來 ， 再 分成 四 份 ， 得到 每 份 有 四 個 １ ， 得出 「 96 ÷ 4 = 24 」 的 式子 。 老師 知道 ， 他 得 經由 這樣 具體 的 操演 過程 ， 才 能 相信 答案 的 真實 ， 所以 就 由 得 他 去 。 沒想到 小傢伙 在 下課 鈴 響 前 ， 突然 開竅 了 ， 他 不再 需要 畫圖 而 能夠 寫出 標準 的 除式算式 ， 並 把 答案 算出來 了 ， 自己 高興 得 在 教室 裡 跑來跑去 。 這 種 因為 自己 想通 的 成就 快樂 ， 實在 很 難 用 文字 或 言語 來 形容 。 當然 也 有 難產 的 例子 。 看 佳仁 老師 和 日昇 的 數學 對話 ， 就 可以 了 解到 ， 一 位 尊重 孩子 想法 的 老師 ， 是 怎樣 提供 各 種 刺激 ， 讓 孩子 慢慢 修正 ， 並 形成 穩固 的 數學 概念 。 這 是 一 次 有關 分數 的 除法 所 進行 的 師生 個別 對話 。 對話 原因 是 日昇 無法 接受 課堂 上 「 3/7 ÷ 1/2 = 6/7 」 的 說法 。 於是 這 次 數學 對話 ， 從 「 1 ÷7 = 1/7 」 開始 。 日昇 透過 具象 的 大餅 切割 圖形 ， 接受 「 3/7 = 6/14 」 的 程度 ， 再 進展到 「 3/7 ÷ 1/2 = 6 / 14 ÷ 7/14 」 ， 再 進到 「 6/14 ÷ 7/14 = 6/7 」 時 ， 日昇 就 卡住 了 ， 他 不能 接受 「 6 ÷ 7 = 6/7 」 。 他 說 「 6 ÷ 7 = 6/7 」 時 ， 所有 的 數字 都 沒有 變 ， 怎麼 可以 算是 答案 ？ 所以 他 堅持 式子 要 寫成 ： 「 3/7 ÷ 1 /2 = 6 / 14 ÷ 7 / 14 = 6 ÷ 7 = 6 / 7 = 0 .
 
8571 … … 」 於是 佳仁 老師 就 得 陪 他 一步步 重新 來過 ， 等到 他 在 心理 上 能 接受 「 3/7 ÷ 1/2 = 3/7 × 2/1 = 6/7 」 ， 已經 是 一 個 多 月 以後 的 事 了 。 我 常常 遺憾 自己 當年 學 數學 時 ， 沒有 碰到 這樣 的 老師 ， 否則 不會 到 現在 都 想 不 通 為什麼 「 1/2 ÷ 1/4 = 2 」 ── 雖然 我 在 考試 的 時候 ， 知道