， 如果 以 鐘面 上 指示 鐘點 的 整數 一 至 十二 為 一 群 ， 於是 很 明顯 地 ， 任意 兩 個 或 更多 成員 的 組合 ， 仍 為 此 群 的 一 分子 （ 如 早上 八點 加上 六 個 鐘頭 ， 變成 下午 兩點 ） 。 在 這 個 例子 裡 ， 組合 指 的 是 成員 加減 的 過程 之 一 。 同樣地 ， 擲 一 粒 骰子 時 ， 任何 位置 之 變化 所 顯示 的 數字 ， 仍 為 六 個 此 種 投擲 的 可能 結果 之 一 。 在 這 個 例子 裡 ， 組合 指 的 是 骰子 繞 著 其 三 條 軸心 ， 做 一 次 或 多 次 的 旋轉 。 我們 也 可以 看出來 ， 組合 一 詞 指 的 是 群 的 某 一 內在 狀態 轉成 另 一 內在 狀態 的 一 種 變化 。 將 「 東西 」 （ 取 其 最 廣泛 的 意義 ） 分門別類 ， 是 我們 獲得 實在界 的 知覺 與 概念 之 最 根本 而 必要 的 因素 。 世上 顯然 沒有 兩 個 東西 是 一模一樣 的 ， 然而 將 世界 編整為 種種 （ 錯綜複雜 而 交疊 的 ） 群 ， 各 群 之 成員 皆 共同 擁有 某 一 重要 特性 ， 則 可以 賦予 某 種 架構 ， 否則 世界 將 成為 變幻 不定 的 一 團 混沌 ， 但是 ， 我們 已經 看出來 ， 此 一 編整 的 同時 促成 了 不變 ， 即 群 的 任何 成員 之 組合 ， 其 結果 本身 仍 為 該 群 的 成員 — 如 凱瑟 （ Cassius J . Keyser ） 所 說 的 ： 「 是 系統 之內 的 ， 而 非 系統 之外 的 東西 。 」 （55） 因此 ， 群 的 第一 個 特性 即 容許 在 群 之內 產生 無數 的 變化 （ 事實 上 ， 有 所謂 無限 的 群 ） ， 但是 任何 成員 或 成員 的 組合 ， 都 無法 跳脫 系統 之外 。 二 、 群 的 另 一 個 特性 是 ， 成員 可以 以 各 種 不同 的 順序 來 組合 ， 而 組合 的 結果 仍然 相同 （ 註 三 ） 。 以下 就 是 個 實際 的 例子 ： 自 一 平面 上 的 某 一 點 出發 ， 以 任何 長度 ， 朝 任何 方向 做 任何 次 的 移動 ， 不論 移動 的 順序 如何 變化 ， 必然 一成不變 地 到達 同 一 個 目的地 — 當然 ， 其 先決 條件 為 ： 移動 的 次數 以及 每 步 的 長度 和 方向 維持 不變 。 舉 個 最 簡單 的 例子 ， 以 一 個 單位 長度 （ 如 一 碼 、 一 英里 ） 移動 四 次 ， 每 次 分別 朝 四方 走 。 在 這些 條件 下 ， 不論 次序 為 何 （ 如 先 朝 北 、 再 朝 西 等等 ） ， 走完 四 次 ， 總是 又 回到 原來 的 出發點 。 因此 我們 可以 說 ， 過程 容許 變化 ， 但是 結果 不變 。 三 、 每 一 個 群 皆 包括 一 單位 或 本身 成員 （ identity member ） ， 其 特性 為 ： 任何 一 位 其他 成員 與 該 單位 成員 組合 ， 其 結果 仍 為 該 成員 自身 。 也就是說 ， 單位 成員 保存 了 另 一 成員 的 本身 。 例如 ， 在 組合 規則 為 加法 的 群 裡 ， 其 自我 成員 為 0 （ 如 5+0=5 ） ； 在 組合 規則 為 乘法 的 群 裡 ， 其 單位 成員 為 1 ， 因為 任何 東西 乘以 1 結果 仍 為 其 自身 。 假設 所有 的 聲響 成為 一 個 群 ， 則 其 單位 成員 為 寂靜 ； 而 一切 位置 的 變動 （ 即 運行 ） 所 組成 之 群 ， 其 單位 成員 則 為 不 動 。 單位 成員 的 概念 ， 初 看似 屬 多餘 ， 但是 我們 應當 視 之 為 群 之 不變性 的 一 個 例子 ， 實際 上 有 其 重要性 。 如 艾希比 （ W . Ross Ashby ） 在 其 模控學 體系 裡 所 指出 的 ， 在 變數 之 變化 所 形成 的 群 裡 ， 有 一 個 他 所謂 的 空函數 （ null-function ） ， 其 直接 作用 為 維持 該 系統 的 穩定 。 對 我們 而 言 ， 此 一 概念 的 重點 ， 在於 某 成員 可能 有所 行動 而 不 造成 任何 改變 （ 10，11） 。 四 、 最後 ， 在 任一 符合群 概念 的 系統 中 ， 我們 發現 ， 每 一 成員 皆 有 其 相對 或 相反 成員 ， 任一 成員 跟 它 的 這 個 相反 成員 組合 ， 結果 為 自我 成員 。 例如 在 組合 規則 為 加法 的 情況 下 ， 5+ ( -5 ) = 0 。 在 此 我們 又 可 看出 ， 此 一 組合 一 刖 造成 了 顯著 的 變化 ， 但 另一方面 其 結果 本身 為 該 群 之 一 員 （ 在 本 例 中 即為 正 、 負整數 ， 包括 0 ） ， 因此 仍 包含 於 其中 。 雖然 此 處 對 群論 基本 概念 所 做 的 描述 （ 即 說明 在 什麼 情況 下 ， 個別 的 變化 並 不能 改變 整 個 群 ） 當嫌 粗略 ， 但是 我們 認為 ： 此 理論 提供 了 一 個 有效 的 架構 ， 讓 我們 藉以 思考 變 與 不變 互相 依存 的 奇特 現象 。 在 許多 實例 中 我們 可以 觀察到 這 種 現象 ， 亦即 「 凡事 愈 變 ， 愈 是 不變 」 。 邏輯 類型 理論 的 意義 顯然 地 ， 群論 無法 為 我們 提供 一 個 模型 ， 以 解釋 那些 超越 某 既定 系統 或 某 參考 架構 的 變化 ， 所以 現在 我們 必須 進一步 介紹 邏輯 類型 理論 。 這 個 理論 跟 群論 一樣 ， 也 是 以 一 堆 因 某 一 共同 特性 而 結合 在一起 的 「 東西 」 做 出發點 ， 整體 的 組成 分子 也 叫做 成員 ， 不過 整體 本身 不 叫 群 ， 而是 稱做 種類 （ class ） 。 邏輯 類型 理論 有 一 基本 公設 ， 誠如 懷海德 （ Alfred North Whitehead ） 和 羅素 （ Bertrand Russell ） 在 其 劃時代 鉅著 《 數學 原理 》 （ Principia Mathematica ） 中 所 敘述 的 ： 「 凡 涉及 某 集合 之 全部 成員 者 ， 必 非 該 集合 之 一 員 。 」 （101） 很 顯然 地 ， 人類 是 一切 個人 集合成 的 種類 ， 但是 人類 本身 並非 一 個 個人 。 兩 者 屬於 不同 層次 ， 若 想 拿 其中 一 個 來 解釋 另 一 個 ， 勢必 導致 荒謬 和 混淆 。 例如 ， 一 個 大都會 人口 的 經濟 行為 ， 不能 以 一 個 居民 的 行為 乘以 居民 人數 （ 如 四百萬 ） 來 解釋 。 順便 一 提 ， 這 也 正 是 早期 經濟 理論 所 犯 的 錯誤 ， 如今 被 謔稱為 「 魯賓遜 漂流記式 的 」 經濟 模型 。 四百萬 人口 不僅 在 數量 上 和 一 個 個人 不同 ， 在 性質 上 亦 相差 甚