、 類星體 、 黑洞 、 星系際 的 氫氣 、 重力波 ， 以及 太空 中 其他 更 奇特 的 居民 的 質量 全 都 加起來 後 ， 也許 就 能 知道 ， 我們 到底 居住 在 什麼 樣 的 宇宙 之中 。 在 討論 宇宙 的 大 尺度 結構 時 ， 天文 學者 喜歡 說 空間 是 彎曲 的 ， 或者 宇宙 沒有 中心 ， 或者 宇宙 是 有限 的 可是 沒有 邊界 等等 。 他們 究竟 在 說 些 什麼 呢 ？ 不妨 這樣 想好 了 ， 我們 居住 在 一 個 十分 奇怪 的 國家 ， 每 個 居民 都 完全 扁平 。 根據 維多利亞 時代 的 莎士比亞 學者 艾波特 （ Edwin Abbott , __UNDEF__ 1838 ~ 1926 ） 的 描述 ， 我們 稱之為 「 扁平 世界 」 （ Flatland ） 。 在 這 個 世界 裡 ， 有些 人 是 正方形 ， 有些 人 是 三角形 ， 還 有 一些 人 是 更 複雜 的 形狀 。 我們 在 扁平 的 建築 裡 忙進忙出 ， 從事 扁平 的 工作 和 遊戲 。 「 扁平 世界 」 的 每 個 人 都 有 寬度 也 有 長度 ， 但是 沒有 高度 ； 我們 知道 左右 前後 ， 可是 對於 上下 完全 沒有 概念 ， 關於 「 上下 」 只有 扁平 數學家 知道 。 數學家 說 ： 「 大家 聽好 了 ， 其實 很 簡單 啊 。 你們 想像 左右 ， 想像 前後 ， 到 目前 為止 都 沒 問題 吧 ？ 現在 來 想像 另 一 個 維度 ， 它 與 另外 兩 個 維度 形成 直角 。 」 而 我們 會 說 ： 「 你 在 說 些 什麼 呀 ？ 『 與 另 兩 個 維度 成 直角 』 ！ 我們 只有 兩 個 維度 啊 。 你 指 著 第三 個 維度 吧 ， 你 說 ， 它 在 哪裡 ？ 」 於是 這些 數學家 垂頭喪氣 地 緩步 走開 。 沒有 人 要 聽 數學家 的 話 。 在 「 扁平 世界 」 裡 ， 每 個 正方形 生物 看到 其他 的 正方形 ， 只 能 看到 一 條 小 線段 ， 即 靠近 他 的 這 一 個 邊 ； 他 要 看到 正方形 的 其他 邊 ， 就 必須 走 一 小 段 路 繞 個 圈 。 可是 正方形 的 內部 就 永遠 都 很 神秘 了 ， 除非 遭逢 某些 意外 橫禍 ， 或 因 驗屍 而 把 正方形 的 邊 割裂開來 ， 才 能 曝露出 他 的 內部 。 有 一 天 ， 一 個 三維 的 生物 ， 譬如 外形 像 蘋果 的 生物 ， 來到 「 扁平 世界 」 。 他 在 上空 翱翔 ， 看到 一 位 特別 吸引人 、 樣貌 討喜 的 正方形 正 進入 扁平屋 裡 ， 於是 蘋果 決定 表示 他 的 「 維際 」 友善 態度 ， 上前 去 打招呼 。 「 你 好 嗎 ？ 」 從 第三 維 來 的 訪客 問道 ， 「 我 是 來自 第三 維 的 訪客 。 」 這 個 可憐 的 正方形 生物 從 緊閉 的 房子 望出去 ， 居然 看 不 見 任何 人 ， 而 更 糟 的 是 ， 對 正方形 來 說 ， 這 從 「 上面 」 來 的 問候 像是 來自於 自己 的 扁平 身體 ， 像是 從 內在 發出來 的 聲音 。 他 或許 會 勇敢 地 提醒 自己 ， 這 八成 是 家族 遺傳 的 輕微 精神 錯亂 吧 。 蘋果 很 生氣 ， 自己 竟然 被 認為 是 精神 失常 的 緣故 ， 於是 他 下降 到 扁平 世界 去 。 一 個 三維 的 生物 在 扁平 世界 僅 能 存在 一 部分 ， 也就是說 ， 只有 和 扁平 世界 相交 的 截面 才 能 被 人 看見 ， 只有 和 扁平 世界 的 表面 相交 的 點 才 能 被 看見 。 滑過 扁平 世界 的 蘋果 先 是 出現 一點 ， 然後 逐漸 變大 ， 有點 像是 圓圓 的 薄片 。 正方形 看到 一 個 點 在 他 二維 世界 的 緊閉 房間 裡 出現 ， 逐漸 增長成 近乎 圓形 。 一 個 奇異 且 不斷 變形 的 生物 竟然 無中生有 ！ 這 個 扁扁 的 東西 竟然 如此 遲鈍 ， 蘋果 對 此 感到 非常 不 高興 ， 於是 撞 了 正方形 一下 ， 把 正方形 撞到 空中 去 ， 在 神秘 的 第三維 中 飄動 、 旋轉 。 起初 正方形 根本 不 知道 發生 了 什麼 事 ， 這 完全 出乎 他 的 經驗 之外 ， 但 最後 他 終於 了解 ， 他 正 從 一 個 特別 優越 的 位置 看 著 扁平 世界 ， 即 「 上面 」 。 他 可以 看到 緊閉 的 房間 內部 ， 可以 看穿 他 的 扁平 同 類 ， 他 從 一 個 獨特 且 優勢 的 觀點 看待 他 的 世界 ； 不只 如此 ， 另 一 個 維度 也 提供 附帶 的 好處 ， 即 類似 X光 透視 的 視覺 。 最後 ， 我們 的 正方 形像 是 落葉 一般 慢慢 降落 到 地面 上 。 而 從 扁平 一 族 的 觀點 來 看 ， 正方形 不可思議 地 從 緊閉 的 房間 消失 ， 然後 又 不 知 從 何處 悲傷 地 現身 了 。 「 天啊 ！ 」 他們 說 ， 「 你 是 怎麼 回 事 呀 ？ 」 正方形 不知不覺 便 回答 ： 「 我 想 ， 我 到 『 上面 』 去 了 。 」 他們 拍 著 他 的 四 個 邊 安慰 他 ， 說 妄想症 是 他 家 的 遺傳 啦 。 要 思考 這 種 多 個 維度 的 情況 ， 我們 不 需要 限制 在 二 個 維度 內 。 跟 著 艾波特 的 思路 ， 我們 可以 想像 一 維 的 世界 ， 在 那裡 的 每 個 人 都 是 一 條 線 ， 而且 對於 零維 的 怪物 （ 即 點 ） 來 說 是 個 不可思議 的 世界 。 不過 也許 更 有趣 的 是 高維 的 問題 。 是否 可能 有 第四 維 呢 ？ A 我們 可以 用 下面 的 方法 ， 想像 如何 製造 一 個 立方體 ： 取 一 條 某 個 長度 的 線段 ， 然後 以 同樣 長度 的 線段 ， 移動到 與 自己 成 直角 的 位置 ， 這樣 就 形成 一 個 正方形 ， 然後 再 將 這 正方形 移到 和 它 成 直角 的 位置 ， 於是 我們 就 有 了 一 個 立方體 。 我們 知道 立方 體會 投射出 一 個 影子 ， 這 個 投影 通常 是 把 兩 個 正方形 的 頂點 全部 連起來 。 如果 我們 在 二維 空間 檢視 立方體 的 影子 ， 會 發現 並非 所有 的 線段 都 一樣 長 ， 而 角 也 不見得 全 都 是 直角 。 三維 物體 轉換到 二維 空間 時 ， 沒辦法 完整 地 表達出 所有 的 樣貌 ， 這 就 是 在 幾何 投影 時 因為 損失 一 維 而 必須 付出 的 代價 。 現在 ， 再 拿 三維 的 立方體 移到 與 它 自己 成 直角 的 四維 空間 去 ， 不 是 左右 ， 不 是 前後 ， 也 不 是 上下 ， 而是 同時 跟 所有 的 方向 都 成 直角 的 方向 去 ； 我 沒辦法 把 那 個 方向 畫給 你 看 ， 但 我 能 想像 它 確實 存在