的 名字 之所以 在 今天 這麼 有名 ， 是 因為 費波納奇 序列 的 應用 遠遠 超過 兔子 的 範疇 。 接下來 ， 我們 會 在 許多 令 人 難以置信 的 各 種 看似 無關 的 現象 中 ， 遇到 費波納奇 序列 。 就 從 這裡 開始 ： 讓 我們 審視 一 個 極盡 想像 之 力 也 猜 不 到 它 和 兔子 的 生育 問題 有 何 關係 的 現象 — — 光線 的 光學 。 假設 我們 有 兩 片 其 組成 玻璃 種類 稍 異 （ 指 有 不同 的 光 折射 屬性 ， 或 說 「 折射 係數 」 不同 ） 的 玻璃片 ， 而且 面面 相合 排列 （ 如 圖 5-2 a 所 示 ） 。 當 我們 把 光 照 向 其中 的 一 片 ， 這 光線 在 射出 之前 會 被 這 四 個 反射面 所 反射 （ 譯按 ： 每 片 玻璃片 有 兩 個 反射面 ） 。 說 得 更 明確 些 ， 它們 可以 直接 穿過 不 受到 反射 ， 或者 在 射出 之前 可以 被 內 反射 一 次 、 兩 次 、 三 次 等等 ， 也 有 可能 可以 內 反射 無數 多 次 ； 所有 這些 途徑 都 符合 光學 原理 。 現在 ， 讓 我們 來 算 一下 可以 從 這 兩 片 玻璃 系統 中 反射出來 的 光線 數目 。 如果 沒有 內 反射 ， 那麼 只 有 一 道 光線 射出 （ 見 圖 5 -2 b ） 。 當 所有 能 做 一 次 內 反射 的 可能性 都 想到 時 ， 有 二 道 光 射出 （ 見 圖 5-2 c ） ， 因為 僅有 二 條 路徑 可以 遵行 。 做 二 次 內 反射 時 ， 共 有 三 道 光 射出 （ 見 圖 5-2 d ） ； 做 四 次 內 反射 時 ， 有 八 道 光 射出 （ 見 圖 5-2 f ） ； 有 五 次 內 反射 時 ， 有 十三 道 光 射出 （ 見 圖 5-2 g ） 等等 。 這 個 射出 的 光 的 數目 ： 1，2，3，5，8，13 ， … … 也 形成 一 個 費波納奇 序列 。 現在 再 讓 我們 思考 下面 這 個 截然不同 的 問題 。 一 位 小孩 正 打算 爬 樓梯 。 他 能 一 步 爬上去 的 最 大 梯級 是 二 ， 也就是說 ， 他 能 一 次 爬上 一 級 ， 或 兩 級 。 如果 樓梯 總共 有 n 級 ， 他 能 爬上 的 不同 方法 ， 若 以 Cn 表示 ， 能 有 多少 種 ？ 如果 只有 一 級 （ n = 1 ） ， 那麼 顯然 只 有 一 種 爬上去 的 方法 ， 因此 C1 = 1 。 如果 有 兩 級 ， 他 可以 一 次 爬上 兩 級 ， 或者 每 次 爬 一 級 ， 因此 有 兩 種 不同 方法 ， C2 = 2 。 如果 有 三 級 ， 則 有 三 種 不同 的 爬法 ： 1＋1＋1 、 1＋2 或 2＋1； 因此 C3 = 3 。 如果 有 四 級 ， 能 爬上去 的 數目 增加為 C4 = 5：1＋1＋1＋1 、 1＋2＋1 、 1＋1＋2 、 2＋1＋1 、 2＋2 。 如果 有 五 級 ， 則 有 八 種 方法 ：C5 = 8：1 ＋1＋1＋1＋1 、 1＋1＋1＋2 、 1＋1＋2＋1 、 1＋2＋1＋1 、 2＋1＋1＋1 、 2＋2＋1 、 2＋1＋2 、 1＋2＋2 。 我們 發現 這些 可能 的 爬梯 方法 的 數目 為 ： 1，2，3，5，8 ， … … 也 形成 一 個 費波納奇 序列 。 最後 讓 我們 來 檢視 一 隻 雄 蜂 的 家譜 。 工峰 的 卵 可以 不 受精 而 長成 雄蜂 。 因此 一 隻 雄 蜂 沒有 「 父親 」 只有 「 母親 」 。 蜂后 的 卵 卻 能 從 雄蜂 處 受精 ， 發育成 雌 蜂 （ 不 是 變成 工蜂 ， 就 是 蜂后 ） 。 因此 ， 一 隻 雌 蜂 既有 「 母親 」 也 有 「 父親 」 。 所以 ， 一 隻 雄 蜂 有 一 個 「 雙親 」 （ 即 母親 ） ， 二 個 祖輩 雙親 （ 牠 的 母親 的 兩 個 雙親 ） ， 三 個 曾祖輩 雙親 （ 有 二 個 為 牠 母親 的 雙親 ， 一 個 為 牠 的 祖父 的 「 雙親 」 ） ， 等等 。 這些 在 家譜 中 的 數目 1，1，2，3，5 ， … … 也 形成 一 個 費波納奇 序列 。 這 個 家譜 顯示 如 圖 5 -3 。 這些 看來 都 很 有趣 — — 相同 的 數字 序列 可以 應用 在 兔子 、 光學 、 爬樓梯 ， 以及 工蜂 雄蜂 的 家譜 ， 可是 費波納奇 序列 怎樣 和 黃金 比例 扯上 關係 ？ 黃金 費波納奇數 再 審視 一下 費波納奇 序列 ： 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，989 ， … … ， 可是 這 一 次 讓 我們 來 看 一下 相鄰 費波納奇 數字 之 比 （ 計算 到 第六 位 小數 ） ： __UNDEF__ 1/1 = 1.000000 2/1 = 2.000000 = 1.500000 = 1.666666 = 1.600000 13 /8 = 1.625000 21 / 13 = 1.615384 / 21 = 1.619047 / 34 = 1.617647 / 55 = 1.618181 144 / 89 __UNDEF__ = 1.617977 233 / 144 __UNDEF__ = 1.618055 377 / 233 __UNDEF__ = 1.618025 / 377 __UNDEF__ = 1 .618037 / 610 __UNDEF__ = 1 .
 
618033 你 認 不認 得 出 最後 一 個 的 比值 ？ 當 我們 繼續 擴增 費波納奇 序列 ， 這些 相鄰 的 費波納奇 數字 之 比 將 愈來愈 趨近 黃金 比例 。 如果 我們 把 第 n 個 費波納奇 數字 以 Fn 來 表示 ， 而 以 Fn＋1 代表 下 一 個 ， 那麼 我們 發現 當 n 趨向 無窮 大 時 ， Fn＋1 ∕ Fn 趨於 φ ； 這 個 屬性 為 著名 的 德國 天文學家 克卜勒 於 一六一一年 發現 （ 另外 一 位 佚名 的 義大利人 可能 更 早 發現 了 它 ） 。 可是 還要 再 等 一百 年 ， 費波納奇 數字 和 黃金 比例 的 關係 才 終於 被 蘇格蘭 數學家 辛普遜 （ Robert Simpson ） 證明 （ 不過 ， 這 個 證明 還 不全 ） 。 克卜勒 與 費波納奇 序列 的 不期而遇 ， 顯然 是 他 自己 獨力 發現 的 成果 ， 而 不 是 從 閱讀 《 算盤 之 書 》 而 來 。 可是 為什麼 這 個 從 養育 兔子 得到 的 序列 ， 它 的 數 項 會 趨近 一 個 從 分割 直線 定義出 的 比例 ？ 要 瞭解 二 者 之間 的 關係 ， 我們 必須 回到 在 第四 章 中 所 看到 的 驚人 連 分數 ， 黃金 比例 可以 寫成 ： 原則 上 ， 我們 可以 用 一 系列 連續 近似值 來 算出 φ 之 值 ， 我們 將 逐項 中斷 這 個 連分數 ， 然後 一 步 一 步 往 下 算 去 。 我們 會 得到 如 下 一 系列值 ： 換句話說 ， 從 這些 逐項 近似 值 中 ， 我們 發現 黃金 比例 恰好 就 是 費波納奇 數字 比 。 難怪 我們 愈 往 更 高項 算 去 ， 它 的 比值 愈趨 近 黃金 比例 。 著名 的 自然學家 湯普遜 爵士 （ D 崒 rcy Wentworth Thompson , 1860 - 1948 ） 在 《 論 成長 與 形態 》 （ On Growth and Form ） 一 書 中 ， 對 此 性質 做 了 絕佳 的 描述 。 他 如此 形容 費波納奇 數字