， 再 以 五 的 平方 根除 之 ， 然後 四捨五 入取 最近 似的 整數 ， 便 得到 這 一 項 （ 在 這 個 例子 裡 是 1597 ） 。 由於 維斯瓦那斯 數列 是 完全 取決 於 隨機 的 擲幣 結果 ， 因此 數值 緩步 增加 ， 即使 把 負號 略 去 ， 只 看 這些 數值 的 絕對值 ， 增加 的 幅度 也 不 是 很 明顯 。 可是 維斯瓦那斯 又 發現 ， 如果 他 把 負號 略 去 只 看 絕對值 ， 則 這 個 隨機 數列 仍舊 以 明顯 且 可 預期 的 速度 不斷 增加 ， 這 實在 出乎 他 的 意料 之外 。 說 得 具體 一點 ， 以 這 種 方法 產生 的 任何 序列 ， 其 第一百 項 和 1 .13198824 … … 這 個 古怪 數字 的 一百 次 方 非常 接近 ， 符合 的 機率 幾乎 等於 百分之百 ， 而且 項序 愈 高 ， 與 1 .13198824 … … 的 冪值 也 就 愈 接近 。 為了 實際 計算 這 古怪 的 數字 ， 維斯瓦那斯 必須 應用 碎形 的 概念 ， 還 用上 一 個 威力 強大 的 數學 定理 ， 這 個 定理 於 一九六○年代 初期 由 耶路撒冷 希伯來 大學 的 數學家 弗斯登伯 （ Hillel Furstenberg ） 及 美國 康乃爾 大學 的 克斯登 （ Harry Kesten ） 所 發現 ， 這 兩 位 數學家 證明 ， 在 一 整 組 隨機 產生 的 數列 之中 ， 數 列 中 高項 數字 的 絕對值 ， 會 和 某 一 固定 數字 的 適當 冪方 愈來愈 接近 ， 可是 弗斯登伯 及 克斯登 不 知道 怎樣 計算 這 個 固定 數字 。 於是 ， 維斯瓦那斯 發現 了 計算 的 方法 。 維斯瓦那斯 工作 的 重要性 不僅 是 發現 了 一 個 新 的 數學 常數 （ 這 當然 是 個 重要 的 功績 啦 ） ， 而且 他 還 漂亮 地 證明出 ， 看似 完全 隨機 的 過程 卻 能 產生 決定性 的 結果 。 這 類 問題 經常 在 各式各樣 的 自然 現象 及 電子 裝置 中 遇到 ， 舉例 來 說 ， 像 我們 太陽 這樣 的 恆星 ， 是 由 它們 中央 核心 的 「 熔爐 」 產生 能量 ， 可是 我們 若要 「 看見 」 這 個 星球 發光 ， 則 必須 有 「 光子 」 形成 一束束 的 輻射 ， 從 星球 深處 想 辦法 抵達 表面 才 行 。 光子 不 只 是 以 光速 穿過 星球 、 飛到 表面 這麼 簡單 ， 它們 在 路程 中 還 會 被 彈來彈去 、 受到 氣體 中 所有 電子 及 原子 的 散射 、 吸收 和 再度 發射 ， 這些 過程 基本 上 是 完全 隨機 發生 ； 經過 「 隨機 漫步 」 的 過程 之後 ， 這些 輻射 最後 終於 逃出 恆星 的 掌握 。 以 太陽 為 例 ， 這 種 漫步 所 需 的 時間 長達 數千萬 年 。 太陽 表面 發射 的 能量 決定 了 地球 表面 的 溫度 ， 也 讓 生命 得以 出現 。 維斯瓦那斯 的 研究 成果 ， 以及 他 隨後 在 隨機 費波納奇 數列 方面 的 研究 ， 使得 往後 要 解釋 隨機 體系 的 數學 結構 時 有 了 額外 的 工具 。 從 維斯瓦那斯 的 發現 ， 我們 學到 一 個 重要 的 教訓 ： 即使 一 個 數學 問題 已經 研究 了 八百 年 之 久 ， 看上去 似乎 沒 什麼 好 研究 的 ， 其實 仍 能 讓 你 感到 非常 驚奇 。 譯注 A 維梅爾 ， 荷蘭 十七世紀 名 畫家 ， 作品 描繪 室 內 和 工作 中 的 女性 為主 ， 富巴洛克 風格 ， 擅於 處理 空間 、 光線 和 色彩 ， 傳世 作品 只有 36 幅 ， 最 著名 者 為 《 倒 牛奶 的 女僕 》 與 《 戴珍珠 耳環 的 少女 》 。 B 埃歇爾 ， 荷蘭版 畫家 ， 用 非常 寫實 的 細節 描繪出 離奇 的 光學 效果 。 例如 ， 在 一 張 瀑布 的 版畫 中 ， 流下 的 水 以 光學 的 幻覺 方法 又 流回 瀑布 之 源 去 ， 如果 只 看 其中 任何 一 段 ， 絕對 看 不 出 破綻 。 作品 中 洋溢 著 數學 方法 的 實際 應用 ， 包括 了 反射 、 平移 、 旋轉 等 幾何 變換 ， 而 受到 科學家 與 數學家 的 重視 ， 更 被 後人 稱為 「 幻覺 藝術 之 父 」 。 C 非 晶態 是 物理 術語 ， 一般 指 無 定形 、 不 呈 晶體 結構 的 固體 ， 如 一 團 揉好 的 麵粉 。 玻璃 是 一 種 非晶體 （ 超 冷 為 固態 的 液體 ） 。 D 錢 卓拉X 射線 太空 望遠鏡 ， 以 印度裔 美國籍 天文 物理學家 錢卓拉塞卡 （ S .
 
Chandrasekhar ） 來 命名 ， 一九七四年 他 以 對 白矮星 的 解釋 獲得 諾貝爾 物理獎 。 錢卓拉 X 射線 望遠鏡 於 一九九九年 六月 升空 後 ， 不僅 偵測到 超 新星 的 爆炸 ， 也 發現 許多 星系 的 核心 有 巨大 黑洞 存在 。 E 各 向 同性 指 的 是 不 依 方向 而 變 的 屬性 。 晶體 在 某 一 方向 的 特性 和 另 一 方向 可能 不同 ， 就 是 具 方向性 ， 可是 氣體 （ 如 空氣 ） 及 液體 （ 如 水 ） 則 不 具 方向性 。 宇宙 大體說來 具 各 向 同性 ， 可是 仍 有 很 小 的 各 向 異性 行為 （ 約 十萬分之一 ） 。 F 我們 通常 認為 我們 的 宇宙 是 獨一無二 的 。 可是 最近 的 理論 認為 我們 的 宇宙 是 無窮 宇宙 中 的 一 個 。 我們 宇宙 的 歷史 開始 於 約 一百五十億 年 前 的 一 次 大爆炸 （ 即 大霹靂 ） ， 並 繼續 膨脹 下去 ； 星球 生生 滅滅 。 雖然 星球 死亡 （ 以 超 新星 爆炸 或 演變 到 白矮星 的 行星狀 星雲 的 過程 ） 後 會 釋放出 一 部分 物質 ， 而 形成 下一代 及 再 下 一 代 … … 的 星球 ， 終 有 一 日 星球 都 會 用盡 所有 物質 及 能量 ， 整 個 宇宙 因此 變 得 暗淡 無 光 ， 實質 上 等同 死去 。 按 最近 的 粒子 物理 理論 ， 所有 的 物質 （ 如 質子 、 中子 、 電子 及 它們 所 組成 的 原子 、 分子 及 萬物 ） 都 有 一 個 有限 的 生命 。 因此 有朝一日 我們 的 宇宙 會 完全 衰敗 ， 化為烏有 （ 如果 最近 的 觀測 及 理論 正確 ， 宇宙 的 「 重力能 」 和 其他 的 能量 相消 ， 因此 可以 從 「 無 」 誕生出 宇宙 ， 可是 同理 ， 宇宙 也 可以 從 「 有 」 衰敗 為 無 。 ） 可是 在 我們 的 宇宙 之外 ， 還 會 有 別的 宇宙 誕生出來 。 第九 章 上帝 是 一 位 數學家 嗎 ？ 我 應當 以 幾何 方法 去 處理 人類 的 罪行 及 愚惷 … … 從 大自然 的 需求 和 效力 來 思考 憎恨 、 憤怒 、 妒忌 等等 激情 … … 因此 ， 我 在 處理 大自然 和 情感 的 力量 時 ， 會 採取 一視同仁 的 態度 ， 彷彿 我 所 關心 的 是 直線 、 平面 ， 及 立體 。 __UNDEF__ （ Baruch Spinoza , 1632 - 1677 ） 不管 有些 業餘家 嘀咕 說 二