人 聽 ， 他 是 任何 一 位 老師 所 能 找到 的 最佳 學生 — — 有 最 充分 的 準備 ， 而且 保證 樂在其中 ， 心 存 感激 。 幾 年 前 他 退休 ， 不再 有 學生 可以 帶給 他 刺激 ， 我們 的 書信 互動 開始 變淡 。 我 不 是 說 通信 的 頻繁 程度 — — 事實 上 他 比 以前 更 常 寫信 給 我 — — 我 是 指 信件 的 強度 與 互惠 程度 。 後來 到 了 一 個 地步 ， 我 根本 無法 應付 他 頻繁 的 來信 。 是 的 ， 他 安慰 我 ， 這 一切 他 都 了解 ， 還 叫 我 不要 擔心 ； 他 知道 我 的 工作 一定 很 忙 ， 而且 還 得 擔負起 為 人夫 、 為 人父 的 新 責任 。 不過 ， 感覺 上 我們 還是 漸 行 漸 遠 。 諷刺 的 是 ， 我 這時 的 年紀 正好 就 是 他 當年 在 高中 教 我 時 的 年紀 。 2004年 1月 ， 我 又 收到 一 封 他 的 來信 ， 但 這 次 看到 信封 時 ， 我 感到 一 陣 焦慮 。 那 異於 尋常 的 顫抖 字跡 ， 讓 我 回想起 我 爸 得 帕金森症 後 的 筆跡 。 親愛的 史蒂夫 1：2004年 1月 17日 ， 星期六 哎 ！ 星期四 中午 我 輕微 中風 ， 讓 我 整 隻 右手 （ 寫字 的 手 ） 失去 知覺 。 幾 個 小時 後 ， 我 才 有 辦法 再次 張開 及 合起 手指 ， 並 擠出 一點點 力氣 來 抓握 東西 ， 但是 ， 哎 ， 右手 已經 不再 那麼 聽話 了 ！X@%X !
 
沒有 樂團 會 需要 一 個 只 用 單手 彈琴 的 鋼琴手 ， 所以 ， 明天 爵士樂 四重奏 的 演出 我 只好 缺席 了 … … 對於 人生 終究 難逃 一 死 的 這 一 瞥 ， 讓 我 驚覺到 這些 年 來 我 忽視 了 多少 東西 。 我 覺得 我 一定 得到 喬弗瑞 老師 家 中 拜訪 他 ， 真正 去 認識 藏身 在 數學 背後 的 那 個 人 。 微積分 是 研究 改變 的 一 門 數學 。 它 原本 的 名字 「 流動 」 （ fluxion ） 將 微積分 的 精神 掌握 得 最好 。 這 名字 是 微積分 的 發明 者 牛頓 所 取 的 ， 它 會 讓 人 聯想到 一 個 持續 在 運動 、 不斷 在 開展 的 系統 。 就 和 微積分 本身 一樣 ， 這 本 書 也 是 對於 改變 的 一 種 探索 。 它 探討 的 是 發生 在 一 個 學生 內心 世界 的 轉變 ， 30 年 間 ， 他 和 他 的 老師 角色 互換 ， 他們 的 年紀 一起 增長 ， 同時 各自 遭逢 人生 帶給 他們 的 種種 打擊 。 但 在 經歷 種種 改變 的 過程 中 ， 他們 因 一 份 對 微積分 的 熱愛 而 綁 在一起 。 對 他們 來 說 ， 微積分 不僅僅 是 一 門 科學 ， 也 是 他們 喜歡 一起 玩 的 一 種 遊戲 （ 男人 之間 友誼 的 基礎 經常 就 是 這 類 東西 ） ， 那 是 當 他們 周 遭 事物 持續 在 流動 時 能 維持 不變 的 東西 。 1 原文 為 Steven ， 「 史蒂夫 」 （ Steve ） 為 暱稱 。 連續性 （ 1974 - 75 ） 微積分 之所以 成功 ， 關鍵 在於 「 連續性 」 （ continuity ） 這 個 概念 。 它 的 核心 假設 是 ： 事物 是 平順 地 在 改變 ， 所以 每 樣 事物 與 片刻 之前 的 它 只有 無限 微小 的 差別 。 就 像 電影 一樣 ， 微積分 將 真實 重新 想成 一 系列 的 快照 ， 再 將 它們 重新 組合 起來 ， 一 個 瞬間 接著 一 個 瞬間 ， 一 個 畫面 接著 一 個 畫面 ， 而 這 一連串 微小 到 無法 被 察覺 的 改變 ， 就 製造出 事件 不 間斷 在 流動 的 假象 。 事實 證明 ， 這 種 理解 「 改變 」 的 方式 帶出 的 威力 是 言語 難以 形容 的 ； 它 很 可能 是 人類 曾 有 過 的 最 偉大 想法 。 微積分 能 讓 我們 登陸 月球 、 以 光速 傳遞 訊息 、 建造 橋梁 來 橫跨 寬達 數 公里 的 河流 ， 甚至 幫助 人類 限制 流行病 的 擴散 。 簡言之 ， 沒有 微積分 的話 ， 就 不可能 有 現代化 的 生活 。 然而 就 另一方面 來 講 ， 微積分 的 基本 概念 十分 單純 ， 甚至 可 算是 天真 到 十分 幼稚 的 地步 。 經驗 告訴 我們 ， 改變 可以 來得 十分 突然 、 不 連續 ， 而且 劇烈 轉折 。 微積分 的 強大 威力 就 源自於 它 拒絕 見到 這樣 的 現象 ， 它 堅持 一 個 沒有 意外 的 世界 ， 在 那 個 世界 裡 ， 每 個 事件 都 合 邏輯 地 導致 另 一 個 事件 。 只要 給 我 起始 條件 及 運動 定律 ， 我 便 可以 根據 微積分 來 預測 未來 ； 甚至 ， 更 厲害 地 ， 重新 建構 過去 。 我 現在 就是 希望 自己 能 建構 過去 。 不幸 的 是 ， 我 和 喬弗瑞 老師 的 通信 內容 充滿 「 不 連續 」 1 。 許多 信件 已經 遺失 或 被 丟棄 ， 剩下 的 信件 則 是 片段 零散 ， 而且 不 帶 任何 情緒 ， 有時候 還 會 有 內容 未 盡 屬實 、 輕描淡寫 ， 甚至 刻意 不 提 某 事 的 情形 發生 。 1974年 ， 也 就 是 我 高一 那 年 的 春季 學期 ， 我 修 的 是 另 一 位 老師 開 的 微積分 先修課 。 強森 老師 畢業 自 麻省理工 學院 ， 他 是 個 高大 、 嚴肅 的 老師 ， 年 約 35 或 40 ， 人 不錯 但 很少 露出 笑容 。 我 的 幾 個 朋友 也 修 同 一 門 課 ， 但 他們 是 在 喬弗瑞 老師 的 班 上 。 當時 有 個 謠傳 ， 說 他 曾經 是 急流 泛舟 的 全 美 冠軍 。 他 的 身材 超棒 — — 每 個 人 都 看得出來 — — 有 寬大 厚實 的 胸膛 ， 手臂 與 腿部 肌肉 發達 ， 頭髮 剪 得 短短 的 。 他 看起來 就 像 肌肉 男版 的 李馬文 （ Lee Marvin ） ， 我 在 許多 部戰爭片 裡 看過 這 位 影星 。 當 我們 在 學習 連續性 的 嚴格 定義 （ 相當 基礎 但 很 不 容易 掌握 的 一 個 概念 ） 時 ， 強森 老師 對 我們 說 了 些 我 從 沒 聽 過 其他 老師 說 的 話 。 他 預告 我們 的 失敗 。 他 說 ， 他 即將 要 介紹 一些 我們 聽 不 懂 的 概念 ， 但 我們 還是 得 硬著頭皮 聽 下去 。 他 指 的 是 版 的 連續性 定義 ： 函數 在 點 為 連續 的 條件 是 ： 對 任何 而言 ， 存在 一 個 ， 使得 若 ， 則 。 他 說 ， 在 數學 的 學習 過程 中 ， 我們 需要 接觸 這 個 定義 四 或 五 次 ， 每 次 接觸 它 ， 都 會 比 前 一 次 更 了