， 當年 費曼 讀 的 就 是 這 本 書 。 ） 你 知道 當 不 是 整數 時 ， 要 如何 定義 嗎 ？ 尤拉 （ Leonhard Euler , 1707 - 1783 ） 的 想法 就 是 為 階乘 函數 （ factorial function ， 像 n !
 
） 做 插值 （ interpolation ） ， 而 這麼 做 所 得到 的 廣義 函數 就 被 稱做 「 伽瑪 函數 」 。 設為 一 整數 。 讓 我們 證明 我們 用 數學 歸納法 就 可以 證明 它 ， 所以 這 個 例子 並 不 是 太 理想 。 我們 現在 用 「 積分 內微分 」 的 技巧 來 證明 它 。 這 可以 幫 我們 省下 做 很多 次 「 分部 積分 」 （ integration by parts ） 的 工夫 。 從 一 個 簡單 的 積分 開始 ： 其中 是 個 參數 。 現在 對 這 公式 的 兩 側 做 微分 。 參數 是 我們 所 要 微分 的 變數 。 在 左側 的 積分 內 微分 ， 我們 得到 而 對 右側 的 微分 ， 我們 得到 ： 因此 接著 ， 繼續 玩 這 個 把戲 。 對 微分 兩 側 現在 ， 設 。 我們 得到 這 是 階乘 函數 的 一 個 「 積分 表示式 」 。 重點 在於 ， 右側 的 積分 對於 所有 的 實數 來 說 都 有 意義 。 舉例 來 說 ， 試 著 算出 。 不過 ， 你 要 有 辦法 算出 定積分 。 讓 我 知道 你 有 什麼 想法 ！ 先 這樣 囉 ， 拜 。 史蒂夫 我 和 喬夫 的 這些 通信 讓 我 感到 很 興奮 ， 忍不住 要 找 人 和 我 分享 ， 而 那 個 倒楣鬼 就 是 我 的 好友 瑞尼．米若羅 （ Rennie Mirollo ） 。 瑞尼 和 我 已經 是 10 年 的 老友 了 ， 我們 兩 人 是 1979年 在 漢普夏 的 夏日 數學營 中 擔任 講師 時 認識 的 。 幾 年 下來 ， 我們 的 友誼 持續 到 研究所 ， 現在 我們 都 正 要 開始 各自 的 教授 生涯 。 有 一 天 ， 我們 在 桑默維爾市 （ Somerville ） 的 中國 餐館 吃 午餐 時 ， 我 向 他 提到 喬夫 問 我 的 無窮 級數 問題 。 我 迫不及待 想 告訴 瑞尼 我 如何 用 傅立葉 級數 解出 它 ， 但是 我 還 沒 開始 解釋 ， 他 便 說 使用 複變數 函數 ， 應該 會 有 個 更 快 的 解法 。 於是 在 宮保 雞丁 及 芝麻 牛柳 這 兩 道 菜 之間 ， 我們 就 在 一 張 紅色 餐墊紙 上 把 瑞尼 的 想法 付諸 實行 。 瑞尼 的 想法 是 使用 「 泰勒級數 」 （ Taylor series ） 來 做 計算 ， 而 不 是 用 傅立葉 級數 。 他 發現 ， 根據 尤拉 公式 ， 我們 想 求 的 級數 和 剛好 就 是 的 虛部 ， 而且 他 知道 如何 利用 模式 的 辨認 來 求 這 個 級數 的 和 。 具體 來 說 ， 他 發現 ， 當 我們 設 ， 則 是 級數 的 一 個 特例 ， 而 後者 又 與 一 個 著名 的 級數 很 類似 ； 我們 兩 人 在 複變 函數論 的 課堂 上 都 看過 這 個 公式 。 將 以 取代 ， 可 得 也 因此 接下來 有 個 技術性 問題 要 克服 。 在 的 範圍 內 ， 與 的 值 相等 ； 問題 是 當時 ， 這 個 級數 表示式 還 會 成立 嗎 ？ 因為 此時 ， 而 不 是 。 換句話說 ， 在 收斂 的 圓 上 也 可以 使用 這 個 級數 嗎 ？ 還是 它 只有 對於 收斂 半徑 內 的 點 才 成立 ？ 這 是 個 不 容易 處理 的 問題 。 有 些 時候 ， 你 可以 將 級數 的 適用 範圍 推展到 「 收斂 半徑 」 之外 ， 但 在 另 一些 時候 ， 級數 卻 會 因而 變為 發散 。 不過 對 眼前 的 這 種 問題 來 說 ， 一旦 級數 發散 ， 你 馬上 就 會 知道 ， 因為 一 眼 就 可以 看出 結果 不 合 常理 。 所以 ， 我們 就 想 不妨 試試 看 再 說 。 把 代 到 對數 函數 中 ， 然後 取 它 的 虛部 ， 你 會 發現 等於 的 虛部 。 接著 ， 要 算出 其 虛部 的 值 時 ， 我們 設 ， 使得 因此 ， 虛部 是 ， 而 這 問題 就 被 簡化成 ： 求出 的 值 ， 使 。 最後 這 個 步驟 是 三角學 的 一 個 習題 。 以下 是 解出 的 其中 一 個 方法 。 在 的 左右 兩 側 取實部 ， 會 得到 。 同理 ， 兩 側 取虛 部會 得到 。 現在 ， 將 第二 個 方程式 除以 第一 個 方程式 ， 我們 得到 右側 可以 利用 半角 公式 做 進一步 的 化簡 ， 其中 。 因此 所以 這 個 時候 ， 瑞尼 畫 了 一 個 小三角形 這 讓 我們 看出 而 這 就 是 我們 想要 求得 的 答案 。 喬夫 喜歡 這 整 個 論證 ： 使用 複數 ， 借助 簡單 的 三角 分析 ， 並 直接 假設 級數 是 在 它 的 收斂 半徑 範圍 內 。 接下來 幾 年 ， 他 經常 把 那 張 餐墊紙 （ 彷彿 它 是 一 份 神聖 的 書卷 ） 秀給 他 最 新 收 的 一 批 資優生 看 。 親愛的 史蒂夫 ： 1989年 3月 20日 ， 星期一 晚上 今天 稍早 我 收到 你 寄來 的 米若羅版 解法 ， 我 就 暫時 放下 手 邊 的 其他 事 ， 研究 你們 所 寫 的 每 一 個 步驟 ， 現在 時間 已經 很 晚 了 。 我 像 《 愛麗絲 漫遊 奇境 》 裡 的 柴郡貓 那樣 露齒 微笑 ， 因為 一切 都 很 有 道理 （ 還 有 別人 當 我 的 嚮導 ） ， 而且 很 美妙 。 我 必須 告訴 你 ， 我 很 高興 看到 身為 高中 老師 的 我 平常 寫 在 黑板 上 的 東西 能 被 拿來 使用 （ 複數 的 等式 、 極 座標 與 直角 座標 的 轉換 … … ） 。 * 你 剛剛 才 打電話 過來 ， 所以 現在 沒有 太多 其他 東西 好說 ， 只 能 再 多 跟 你 道謝 幾 次 ， 謝謝 你 和 我 分享 一些 新 見解 ： 在 繞射 問題 上 的 應用 、 向量 與 傅立葉 級數 的 類比性 ， 以及 一些 其他 的 概念 。 你 和 瑞尼 推導出 的 方式 ， 讓 我 佩服 得 說 不 出 話 來 。 對於 如何 使用 適當 的 直角 三角形 來 求得 三角 函數 與 反 三角 函數 的 合成 函數 ， 我 現在 有 了 新 的 心得 。 我 剛剛 寫 了 一 張 紙條 提醒 自己 ， 試 著 去 走 一 條 你 與 瑞尼 合作 解出 時 沒 走過 的 路 。 這 或許 是 我 在 盧密斯 中學 所 度過 最 棒 的 春假 之 一 ， 謝謝 你 的 來信 及 電話 ！ ** 我 決定 休息 一下 ， 先 研究 。 我 的 數學 推導 讓 我 得到 。 為 了 驗證 這 個 結果 ， 我 用 我 的 TI58 2 執行 了 一 個 程式 而 得到 。 我 發現