幾 個 學生 在 早上 搭 車 上學 途中 ， 就 可以 打開 筆記型 電腦 ， 針對 某 個 特定 的 坡度 求得 一 個 不用 微積分 就 能 算出來 的 解 。 11月 是 最 能 讓 我 享受 衝浪 的 月份 之 一 。 有 許多 年 過 中年 的 衝浪客 在 輕風細浪 的 協助 下 重拾 衝浪 之 趣 。 當 我 在 離 長島灣岸 邊 800 公尺 的 海面 上 時 ， 我 喜歡 想像 自己 是 在 親身 體驗 向量 。 我 趕上 一 個 高過 1 公尺 的 海浪 ， 在 那 道 浪 的 頂端 維持 了 片刻 （ 微積分 中 所謂 的 瞬間 ） ， 然後 在 我 的 風浪板 加速 到 時速 32多 公里 時 ， 從 浪面 上 降 了 下來 。 在 那 種 情況 下 ， 迎面 而 來 的 風 會 讓 人 感受到 強烈 的 刺痛 ！ 是 啊 ， 你 可以 說 我 的 電池 電力 只 夠 維持 一 小 段 時間 。 （ 關於 我 那 精采 的 衝浪 假期 的 記憶 不時 浮出 表面 時 ， 我 的 學生 們 會 注意到 課堂 上 授課 的 我 ， 心 裡 其實 正 露出 詭異 的 笑容 嗎 ？ 而且 這裡 所 說 的 「 表面 」 ， 應該 是 我們 在 上 「 旋轉面 」 課程 時 可以 好好 研究 的 題材 ？ ） 我 怕 我 教書 生涯 的 黃昏 已經 快 到 了 ， 但 我 很 感激 盧密斯 中學 給 我 的 這 一 段 人生 。 我 的 一 個 遺憾 是 ， 沒 能 在 這裡 設立 一 個 數學 「 名人堂 」 。 然而 ， 為了 對 那些 在 1950年 之前 就 來到 這裡 或 我 沒 榮幸 教到 的 數學 高手 們 做到 公平 ， 我 只 能 選擇 將 我 所 知道 的 傳奇 事蹟 不斷 地 傳頌 下去 。 希望 你 的 假期 帶給 你 快樂 及 休息 。 （ 你 也 需要 休息 嗎 ？ ） 祝好 喬夫 幾 天 後 ， 事情 出現 了 一 個 沒 人 預期 得到 的 轉折 ， 全 美國 似乎 都 在 為 一 個 數學 謎題 爭論 ， 這樣 的 狀況 非常 少見 。 事情 是 從 瑪莉蓮 ．莎凡 （ Marilyn vos Savant ） 回答 她 數百萬 名 讀者 中 的 一 位 所 提出 的 動腦 問題 開始 ； 她 是 每 週日 《 展示 雜誌 》 （ Parade ） 「 來 問 瑪莉蓮 」 專欄 的 作者 ， 在 金氏 世界 紀錄 大全 中 被 列為 「 智商 最 高 」 的 人 。 這 問題 的 場景 大致上 是 模仿 蒙提 ． 霍爾 （ Monty Hall ） 主持 的 電視 遊戲 節目 《 讓 我們 做 筆 交易 》 （ Let’s Make a Deal ） 設計 的 ： 假設 你 參加 一 個 遊戲 節目 ， 而 有 三 扇 門 要 請 你 做 選擇 。 其中 一 扇 門 後面 是 一 輛 車 ， 另外 兩 扇 門 後面 則 是 兩 隻 羊 。 你 選擇 了 一 號 ， 主持人 （ 他 知道 那 扇 門 後面 是 什麼 東西 ） 接著 打開 另 一 扇 門 ， 比方說 三 號 ， 而 那 扇 門 後面 是 一 隻 羊 。 他 問 你 ： 「 你 想要 選擇 二 號 門 嗎 ？ 」 請問 ： 改變 原先 的 選擇 對 你 有利 嗎 ？ 瑪莉蓮 宣稱 「 是 」 ， 你 應該 改變 選擇 ， 因為 你 贏得 那 輛 車 的 機率 會 變成 ， 但 如果 你 堅持 原先 的 選擇 ， 贏 的 機率 只有 。 這 個 回答 如此 違背 直覺 ， 以至於 數以千計 的 讀者 ， 包括 許多 數學 教師 ， 寄給 她 激烈 的 抗議信 。 有 一 個 人 說 ： 「 這 個 國家 已經 有夠 多數學 文盲 了 ， 我們 不 需要 世上 智商 最 高 的 人 再 製造出 更多 這 種 人 ， 丟臉 ！ 」 另 一 個 人 指責 她 ： 「 作為 數學 工作 者 ， 我 非常 擔心 社會 大眾 沒有 分辨 對錯 的 數學 能力 。 請 您 行行 好 ， 承認 自己 所 犯 的 錯誤 ， 並且 將來 在 回答 問題 時 更 小心 一點 。 」 還 有 一 個 人 只 簡單 地 說 ： 「 你 就 是 那 隻 羊 ！ 」 但 事實 上 瑪莉蓮 是 對 的 。 要 看出 為什麼 如此 ， 你 可以 假設 當 蒙提給 你 機會 時 ， 你 遵照 瑪莉蓮 的 策略 改變 選擇 。 這 個 遊戲 有 三 種 可能 的 結果 ：● 你 選擇 甲羊 。 蒙提 打開 門 讓 你 看到 乙 羊 。 你 改變 選擇 。 你 贏得 那 輛 車 。 ● __UNDEF__ 你 選擇 乙 羊 。 蒙提 打開 門 讓 你 看到 甲羊 。 你 改變 選擇 。 你 贏得 那 輛 車 。 ● __UNDEF__ 你 選擇 車 。 蒙提 打開 門 讓 你 看到 一 隻 羊 。 你 改變 選擇 。 你 得到 另 一 隻 羊 。 所以 ， 改變 原先 的 選擇 ， 三 個 情況 當中 的 兩 個 你 會 贏 ， 就 像 瑪莉蓮 所 說 。 另 一 個 憑 直覺 看出 為何 改變 選擇 較為 有利 的 方法 ， 即 考慮 有 許多 扇門 的 極端 情況 ， 比方說 你 有 1000 扇 門 可 選 。 你 選 一 號 門 。 就 和 其他 的 每 一 扇 門 一樣 ， 它 有 千分之一 的 渺小 中獎 機率 。 接著 ， 蒙提 打開 998 扇 門 ， 這些 門 的 後面 都 是 羊 。 只 留下 你 所 選 的 一 號 門 和 另 一 扇 門 還 沒 打開 ， 比方說 第723 號 門 。 「 現在 ， 」 他 問 ， 「 你 要 維持 原先 選擇 的 一 號 門 ， 還是 改選 第723 號 門 ？ 」 你 看 得 出 主持人 幾乎 已經 在 告訴 你 那 輛 車 在 哪裡 了 嗎 ？ 改選 第723 號 門 ！ 還是 你 真的 對 自己 的 猜測 功力 深 具 信心 ， 相信 值得 堅持 原先 選擇 的 一 號 門 ？ 喬夫 寫信 問 我 對 這 個 爭議 事件 的 看法 。 嗨 ， 喬夫 ： 1991年 1月 7日 我 認為 瑪莉蓮 是 對 的 。 你 選 了 一 扇 門 ， 而 蒙提 （ 電視 遊戲 節目 主持人 ） 打開 另 一 扇 門 讓 你 看到 一 隻 羊 ， 這時 如果 改選 剩下 的 那 一 扇 門 ， 將 有的 機會 贏得 遊戲 。 她 所 列出 的 各 種 可能性 已經 很 清楚 地 證明 了 這 點 。 在 蒙提 公布 一 隻 羊 的 所在處 之後 ， 剩下 兩 扇 門 的 得獎 機率 就 變 得 不 對稱 ， 這 讓 一些 人 感到 不解 。 但是 請 記得 ， 蒙提 做 了 一 件 非 隨機 的 事 ： 他 總是 打開 一 扇 後頭 有 羊 的 門 。 這 就 是 對稱性 被 破壞 的 原因 。 不過 ， 問題 還是 相當 令 人 困惑 ！ 補充 兩 點 關於 巴斯卡 （ Pascal ） 三角形 的 知識 ：