公布 一 隻 羊 的 所在處 之後 ， 剩下 兩 扇 門 的 得獎 機率 就 變 得 不 對稱 ， 這 讓 一些 人 感到 不解 。 但是 請 記得 ， 蒙提 做 了 一 件 非 隨機 的 事 ： 他 總是 打開 一 扇 後頭 有 羊 的 門 。 這 就 是 對稱性 被 破壞 的 原因 。 不過 ， 問題 還是 相當 令 人 困惑 ！ 補充 兩 點 關於 巴斯卡 （ Pascal ） 三角形 的 知識 ： （1） 巴斯卡 三角形 的 形式 如下 ： 要 將 巴斯卡 三角形 推廣到 的 情況 ， 「 正確 」 的 做法 為 何 ？ 你 的 學生 們 可能 會 覺得 這 個 習題 很 有趣 。 （ 答案 也許 不止 一 種 。 ） （2） 這裡 有 一 個 得到 瓦里斯 公式 的 簡潔 方法 ： 其中 是 個 整數 ， 。 它 用到 巴斯卡 三角形 及 尤拉 公式 。 我們 面對 的 是 下面 這 個 可怕 的 積分 ： 但是 請 等一下 ！ 如果 我們 用 二項式 公式 展開 被 積分式 ， 所有 的 積分 都 會 是 零 ！ 因為 我們 會 得到 許多 像 下面 這樣 的 結果 ： 只 有 那 項 例外 （ 即 二項式 展開 後 的 中間項 ） ， 它 的 積分 不 是 0 。當 ， 。 現在 我們 唯一 需要 做 的 事 就 是 算出 中間項 的 係數 。 （ 兩 個 我們 比較 熟悉 的 例子 是 ： 的 中間項 係數 為 2 ， 而 的 中間項 係數 為 6 。 ） 一般而言 ， 我們 有 其中 （ 讀做 「 取 」 ） ， 意思 是 。 中間項 會 出現 在 級數 往 上 數 到 時 的 一半 （ 或是 順 著 三角形 的 某 一 層 走到 一半 處 ） 。 對 我們 來 說 ， ， 所以 我們 要 找 的 是 那 一 項 ， 亦即 所 求 的 係數 是 （ 因為 ） 。 （ 請 檢查 ： 當 ， 係數 為 2， 而當 ， 係數 是 6 ， 如 我們 所 預期 。 ） 好 吧 ， 就 這麼 做下去 ！ 之類 積分值 為 零 的 項次 （ ） 等 式 右側 的 第一 個 積分 的 值 為 。 所以 我們 算出 答案 為 ： 你 也許 會 想 把 階乘 函數 具體 寫出來 ， 讓 自己 相信 這 真的 會 得出 瓦里斯 的 結果 。 好 吧 ， 喬夫 ， 我 現在 只 能 寫到 這裡 。 晚餐 準備好 了 ！ 再見 囉 ， 朋友 史蒂夫 1 安格紐 （ Spiro Agnew , 1918 - 1996 ） ， 尼克森 時期 的 美國 副總統 。 2 帕爾曼 （ Itzhak Perlman ） ， 世界 十 大 知名 小提琴家 之 一 。 無限 與 極限 （1991） 在 日常 語言 中 ， 「 無限 大 」 與 「 極限 」 聽起來 好像 彼此 矛盾 ， 但是 在 微積分 ， 它們 卻 緊密 結合 成為 一 個 統一 的 概念 。 事實 上 ， 這 可能 是 整 個 微積分 中 最 具 革命性 的 概念 ， 它 讓 微積分 與 在 它 之前 的 其他 數學 分支 （ 代數 、 幾何 及 三角 ） 截然不同 。 微積分 的 偉大 成就 在於 它 馴服 了 無限 大 。 長久以來 ， 人們 一直 避開 無限 大 這 個 概念 ， 甚至 害怕 討論 。 希臘人 認為 無限 大 根本 無意義 ； 文藝復興 時代 ， 教會 禁止 任何 人 書寫 關於 無限 大 的 內容 — — 義大利 哲學家 布魯諾 （ Giordano Bruno , 1548 - 1600 ） 就 是 因為 違反 了 這 個 規定 ， 而 被 綁 在 火刑柱 上 燒死 — — 因為 只有 神 可以 是 真正 的 無限 大 。 但 微積分 的 創始 者 敢於 面對 無限 大 ， 因為 他們 別 無 選擇 。 甚至 在 還 沒有 掌握 微積分 的 邏輯 之前 ， 他們 就 感覺到 無限 大 ， 以及 它 的 鏡像 無限 小 ， 是 解決 那 個 時代 數學 懸題 的 關鍵 。 無論 是 求 曲線 之 切線 的 幾何 問題 ， 或是 求行星 在 軌道 上 之 瞬時 速度 的 物理 問題 ， 它們 的 解題 策略 在 概念 上 都 是 相同 的 ： 選取 一 個 複雜 的 運動 或 形狀 ， 然後 把 它 看成 是 由 無限 多 個 無限 小 的 部分 所 構成 。 一 條 線 變成 許多 微小 的 直線 ； 一 個 橢圓 軌道 變成 一 系列 微小 的 短暫 旅程 ， 每 段 旅程 都 有 固定 的 速率 與 方向 。 這麼 做 的 好處 是 ， 這些 微小 部分 會 比 整體 來得 好 處理 。 從 這 一 小 段 到 下 一 小 段 ， 其 間 的 改變 幾乎 無法 察覺 ， 就 像 在 「 手翻書 」 （ flip book ） 中 ， 連續 兩 頁 的 圖形 幾乎 沒 什麼 改變 一樣 。 與 無限 大 （ 小 ） 相關 的 極限 概念 也 令 人 很 有 挫折感 。 一 個 典型 的 例子 是 ， 朝著 牆壁 前進 ， 每 次 前進 的 距離 是 你 與 牆壁 距離 的 一半 。 如此一來 ， 你 會 愈來愈 接近 牆壁 ， 卻 永遠 到達不了 那裡 。 微積分 最 基本 的 幾 個 概念 都 是 用 極限 概念 來 陳述 的 。 極限 是 第二 波 研究 微積分 的 數學家 所 引進 的 概念 ， 為 的 是 要 避開 微積分 創始 者 （ 尤其 是 牛頓 ） 在 訴諸 無限 小 概念 時 所 碰到 的 難題 。 牛頓 有時候 把 無限 小看成 零 ， 有時候 又 不 把 它 當成 零 ， 這 讓 他 遭受 一些 惡意 （ 卻 出人意外 地 成功 ） 的 指責 ， 指控 他 態度 反反覆覆 。 他 的 批評 者 說 ， 他 犯 了 兩 個 碰巧 抵消 的 邏輯 錯誤 而 得到 正確 答案 ， 這 種 做法 令 他們 不 敢 苟同 。 終極 的 解決之道 過 了 一 個 世紀 後 才 出現 。 牛頓 的 無限 小 其實 不 是 零 ； 它們 只是 極限 趨近於 零 罷了 。 1991年 1月 及 2月 ， 喬夫 和 我 通信 非常 熱絡 ， 書信 在 我們 之間 來來回回 ， 速度 之 快 不僅 空前 而且 絕後 。 引發 這 批 通信 的 ， 是 喬夫 在 卡爾．博耶1 的 經典 著作 《 數學史 》 （ History of Mathematics ） 中 所 讀到 一 個 令 他 相當 不解 的 極限 。 博耶 當時 正在 推導 下面 這 個 方程式 ： 這 是 一 個 「 無窮 乘積 」 （ infinite product ） 公式 ， 它 用到 所有 的 奇數 與 偶數 來 表示 。 令 人 不 敢 置信 的 是 ， 一 個 與 圓 有關 的 數 怎麼 會 和 偶數 與 奇數 扯上 關係 ， 奇數 及 偶數 是 人們 為 了 算術 而 引進 的 數 ， 看起來 和 幾何 似乎 距離 很 遠 。 不過 ， 困擾 喬夫 的 並 不 是 這 個 巧合 ， 而是 博耶 得到 這 個 式子 的 方式 。 在 推導 這 個 無窮 乘積 的 過程 中 ， 博耶 不經意 地 使用 了 某 個 極限 ， 考慮 它 在 趨近 無限 大 時 的 情形 。 具體 來 說 ， 他 用到 下面 這 個