這 個 學科 ， 但 話說回來 ， 上大學 前 我 也 沒有 接觸 過 微積分 。 從 西哈特弗 的 學生 八卦 交換區 傳來 消息 ， 說 你 已經 訂婚 了 ， 顯然 我 的 學生 喬第．歐蘭 和 卡普 家 很 熟 ， 所以 消息 就 從 那裡 走漏 了 。 我們 都 為 你 感到 高興 ， 史蒂夫 （ 如果 這 個 傳聞 是 真 的 ） 。 我 這 個 星期日 駕 著 我 的 風浪板 在 長島灣 的 海面 上 航行 ， 親自 感受 乘風 駕浪 之 樂 ， 那 種 愉悅感 來自 海風 、 波浪 以及 重力 巧妙 搭配 所 營造 的 氛圍 。 而 我 可以 自己 一 人 獨享 這樣 的 愉悅 ； 除了 遠處 海面 上 的 一 艘 油輪 之外 ， 我 是 這 個 王國 的 唯一 擁有 者 。 （ 這 地方 每 到 夏天 都 會 擠滿 許多 動力 小艇 、 噴射 滑板 及 其他 各式各樣 的 船隻 。 ） 希望 你 一切 順利 ， 史蒂夫 。 你們 有 春假 嗎 ？ 如果 有 機會 來到 我 家 附近 的話 ， 我們 很 希望 邀請 你 過來 坐坐 。 祝好 喬夫 嗨 ， 喬夫 ： 1991年 2月 19日 又 是 忙碌 的 一 天 ， 所以 我 會 盡量 簡短 。 以下 是 我 關於 的 一些 想法 。 讓 我們 先 考慮 一 個 和 它 有關 的 積分 ： 當 很 大 的 時候 ， 被 積分式 看起來 會 像 下面 這樣 （ 我 使用 餘弦 函數 ， 因為 對於 我 要 說明 的 現象 來 說 ， 考慮 會 比 來得 理想 ） ： 這 個 函數 唯一 會 對 積分 有 重要 貢獻 的 是 靠近 尖釘狀 部分 。 所以 如果 我們 能 成功 地 用 某 個 較 簡單 的 函數 來 近似 它 ， 那麼 便 很 有 機會 算出 這 個 積分值 。 有 個 處理 這 種 「 驟然 突起 」 函數 的 標準 技巧 ， 叫做 拉普拉斯法 （ Laplace ’s method ） 。 在 靠近 的 地方 ， 我們 有 但是 因為 誤差項 是 ； 換句話說 ， 對 很 小 的 而言 ， 和 可以 被 視為 相等 。 為什麼 要 這麼 做 ？ 因為 當 很 大 時 ， 是 很 好 的 近似 ！ 換句話說 ， 是 那 尖釘 的 極 佳 近似 ； 對於 位在 寬度 為 窗格 之 範圍 外 的 而言 ， 函數 本來 就 很 小 ， 所以 當時 ， 我們 的 誤差 可以 被 忽略 。 簡單 地 說 ， 叫 你 的 學生 畫出 當 很 大 時 與 的 圖形 。 你 會 發現 這 兩 個 函數 非常 接近 ！ （ 我 希望 啦 ！ ） 在 這 個 區間 結果 看起來 應該 會 很 不錯 。 當然 ， 當時 ， 兩 個 函數 的 近似 情況 就 差多了 ， 但 我們 不會 讓 跑到 那麼 遠 的 地方 。 重點 就 在於 ， 我們 可以 用來 取代 ， 而 當 夠 大 時 ， 兩 者 之間 的 誤差 可以 忽略 。 但 這 有 什麼 用 ， 你 或許 會 問 ？ 這 個 積分 我們 也 不會 做 呀 。 不過 ， 現在 有 個 巧妙 的 一 招 ： 把 積分 範圍 延伸到 。 這 會 包括 更 大 範圍 的 ， 但 那些 部分 的 值 非常 小 ， 不至於 影響 整 個 積分 的 結果 ！ 只有 接近 釘狀 部分 是 重要 的 。 現在 ， 我們 知道 如何 利用 極 座標 的 技巧 來 準確 求出 。 所以 ， 我 就 當做 你 可以 自行 驗證 。 總而言之 ， 我們 的 想法 如下 ： 因為 只有 尖釘 部分 對 積分 有 貢獻 。 取 其中 的 一半 ， 我們 會 得到 下面 這 個 圖形 ： （ 從 幾何 圖形 可 知 ） 所以 我 宣稱 ， 當 很 大 時 ， 你 的 積分 且 讓 我們 用 電腦 來 看看 這 個 公式 對 不 對 。 __UNDEF__ 1 1.252 .
 
78 893 67 724 59 （ 值 不 大 時 ↑ 結果 還 不錯 ） __UNDEF__ .
 
1256 .
 
1260 最後 的 兩 個 數 與 相差 不 到 ， 所以 兩 邊 看起來 相當 符合 。 請 將 這 個 表 上 的 資料 用 圖形 呈現 。 無論如何 ， 現在 我們 已經 很 清楚 ：　 當 得證 ！ 比較 簡單 的 說法 是 （ 在 尖釘 附近 區域 ， 因為 那裡 ） 所以 ， 說 這 兩 個 積分 的 比值 是 非常 有 道理 。 加油 史蒂夫 親愛 的 史蒂夫 ： 1991年 2月 25日 ， 星期一 你 實在 太 棒 了 ！ 你 那 一 大 疊 數學 今天 寄達 ， 裡面 包括 尖釘 的 有趣 說明 、 的 近似法 ， 以及 你 1989年 3月 14日 寄給 我 那 封 介紹 傅立葉 方法 的 厚信 （ 這 實在 讓 我 感到 非常 不好意思 ， 原來 的 信 不 知道 收到 哪裡 了 ） 。 我 那 多 變數 微積分 班 上 的 學生 又 要 展開 他們 的 數學 之 翼 ， 享受 新 的 飛行 ， 這 一切 都 要 歸功於 你 將 他們 從 巢 中 推向 天空 （ 再一次 ！ ） 。 隨信 附上 另 一 篇 《 展示 雜誌 》 「 請問 瑪莉蓮 」 專欄 文章 ， 以免 你 錯過 它 。 那 個 違反 直覺 的 遊戲 節目 問題 並 沒 那麼 容易 就 落幕 。 我 不 知道 你 認不認識 西斯．卡爾森 （ Seth Kalson ） 這 個 人 ， 他 的 信 很 可能 是 最後 一 封 回應 瑪莉蓮 的 信 。 自從 耶誕節 以來 ， 喬夫家 就 一直 辛苦 面對 一 個 問題 。 我們 最 小 的 兒子 傑夫 （ 24 歲 ） 因為 癌症 動 了 手術 ， 而且 剛 完成 第三 階段 化療 。 今天 我們 終於 得到 一些 好 消息 ： 他 的 血液 指標 已經 恢復 正常 。 傑夫 今天 回家 了 ， 我們 希望 他 不 需要 再 做 第四 次 化療 。 番紅花 今天 開 了 ， 或許 好事 即將 來臨 。 我 已經 因為 期末考 而 忙 得 不可開交 ， 不過 冬季 學期 這 個 週五 就 會 結束 ， 看來 我 很 快 就 有 機會 為 自己 充電 ， 並且 好好 複習 已經 忘掉 的 傅立葉 係數 求法 。 我 嘗試 過 利用 積分 來 讓 每 一 項 都 變成 零 ， 只 留下 與 所 求 係數 有關 的 項 ， 但 出 了 一些 狀況 。 我 刻意 不 去 看 你 的 解釋 ， 希望 我 的 神經元 會 在 最後 一 分鐘 受到 刺激 。 （ 那些 負責 解開 這 個 奧秘 的 神經元 非常 有 可能 早 已經 死 了 ！X%@ !
 
） 祝好 喬夫 1 卡爾 ． 博耶 （ Carl Boyer , __UNDEF__ 1906 - 1976 ） ， 美國 數學史家 。 2 羅伯 ． 阿德瑞 （ Robert Ardrey , __UNDEF__ 1908 - 1980 ） ， 美國 人類學家 及 好萊塢 編劇家 ， 是 《 非洲 創世紀 》 （ African Genesis ） 的 作者 。 3 奧度威 峽谷 遺址 （ Olduvai Gorge ） 位於 東非 坦尚尼亞 境 內 ， 是 著名 的 考古 遺址 ， 被 喻為 「 人類 的 搖籃 」 。 4 理查 ． 李基 （ Richard Leakey ） ， 肯亞古 人類學家 。 5 艾格紐 （ Ralph Palmer Agnew , 1900