， 我 只好 拿 這些 理由 來 當成 沒 回信 的 牽強 藉口 。 隨信 附上 一 份 關於 貝氏 公式 （ Bayes formula ） 的 講義 ， 那 是 我 最近 教 過 一 門 課 的 筆記 … … 但是 他 的 信 還是 如 洪水 般 繼續 湧來 。 喬夫 想要 免除 我 回信 的 義務 ， 他 卻 沒辦法 停止 寫信 給 我 。 「 這樣 就 已經 很 好 了 ！ 」 他 在 另 一 封 信 的 結尾 這麼 說 ， 「 千萬 不要 覺得 你 有 必要 回信 給 我 。 你 只要 知道 ， 寫信 給 你 對 我 而言 是 非常 特別 的 時刻 。 」 接下來 這 封 信 讓 我 看到 ， 要 喬夫 放下 他 之前 的 生活 型態 的確 是 件 非常 困難 的 事 。 他 詳細 描述 他 和 一 位 很 有 耐性 的 女 服務生長 談 ， 並且 教 她 如何 找出 最 快 走下坡 的 路 ， 那 是 「 變分學 」 （ calculus of variation ） 的 經典 問題 。 問題 如下 ： 考慮 位在 同 一 垂直面 上 的 兩 點 A 與 B ， 並 假設 你 想要 用 最佳 可能 的 傾卸槽 將 這 兩 點 連接起來 。 你 的 目標 是 設計 傾卸槽 的 形狀 ， 讓 一 個 不 受 摩擦力 的 粒子 能 在 最 短 的 時間 內 從 A 滑到 B 。 你 可能 會 以為 應該 用 直線 將 這 兩 點 連接起來 ： 因為 那 是 最 短 的 路徑 。 但 另一方面 ， 或許 剛 開始 讓 傾卸槽 陡 一點 比較 好 ， 因為 那 個 粒子 可以 較 快 增加 速率 ， 而 它 所 增加 的 速度 或許 可以 彌補 它 必須 多 走 的 路 。 果真如此 的話 ， 那麼 這 條 曲線 應該 設計成 什麼 形狀 ？ 答案 是 ： 它 是 反轉過來 的 擺線 （ cycloid ） 。 如果 你 曾經 見 過 固定 在 腳踏車輪 上 的 小 燈泡 ， 隨著 腳踏車 的 前進 ， 在 夜晚 漆黑 的 路 上 時而 上 時而 下 地 劃出 一 道 明亮 的 軌跡 ， 並且 因此 目眩神迷 ， 那麼 你 對 擺線 就 不 陌生 了 。 擺線 還 有 另 一 個 有趣 的 特性 。 它 除了 是 「 最 短 時間線 」 （ brachistochrone ， 時間 最 短 的 路徑 ） 之外 ， 還 是 「 等時線 」 （ tautochrone ） ， 時間 相等 的 路徑 。 這 句 話 的 意思 是 ， 如果 你 把 一 個 粒子 放 在 一 條 倒轉 的 擺線 上 ， 在 靜止 時 將 它 釋放 ， 那麼 不管 你 一 開始 是 在 擺線 上 的 哪 個 位置 將 它 釋放 ， 該 粒子 到達 底部 所 需 的 時間 都 相同 。 如果 你 一 開始 放手 的 位置 較 高 ， 粒子 要 滑行 的 距離 便 較 長 ， 但 相對 地 ， 它 也 會 移動 得 快 一點 ， 其 所 增加 的 速率 剛好 足以 彌補 增長 的 距離 。 想像 這 是 從 傾卸槽 上 兩 個 不同 位置 出發 的 兩 個 粒子 在 比賽 ， 結果 總是 一樣 ： 平手 。 兩 個 粒子 在 衝過 位在 曲線 底部 的 終點 時 難分軒輊 。 親愛 的 史蒂夫 ： 02年 1月 7日 ， 星期一 日出 時刻 （ 但 還 沒 看到 太陽 ） 蘇 和 我 昨天 到 西丘 池塘 去 檢查 我們 的 房子 。 雖然 時值 1月 ， 那裡 卻 沒有 雪 ， 而且 池塘 有 百分之八十 的 面積 沒有 結冰 … … 只有 北側 結 了 薄薄 一 層 。 但是 蘇 不 願意 下去 划獨木舟 ！ 那 對 我們 而言 會 是 個 全新 的 經驗 ， 而且 整 個 湖 歸 我們 獨享 。 在 卸下 一些 柴火 及 引火物 之後 ， 我們 就 到 曼徹斯特 去 ， 在 MACARONI GRILL 和 我們 的 媳婦 簡恩 用餐 ， 慶祝 她 的 生日 。 這 是 我 很 喜歡 的 一 家 餐廳 ， 因為 他們 有 紙製 桌巾 ， 而 女 服務生 是 用 粉筆 簽到 （ 他們 還 會 在 簽名 時 將 名字 倒過來 寫 ， 讓 顧客 們 驚奇 ） 。 那 天 晚上 我 搶到 一 枝 粉筆 ， 再 加上 有 一 杯 基安地 葡萄酒 壯膽 ， 就 決定 推導 那 個 可以 解出 「 等時線 」 的 積分 。 嗨 ！ 我 一直 在 測試 自己 是否 還 記得 退休 前 （ 到 現在 已經 超過 三 年 了 ） 的 微積分 ， 這 都 要 歸功於 你 。 對於 我 在 桌 上 寫 得 密密麻麻 的 那些 數學 ， 那 位 女 服務生 讚嘆 不已 。 我 簡單 為 她 介紹 了 最 快 走下坡 的 路徑 ， 她 坦承 她 原先 會 選擇 直線 的 路徑 。 我 問 她 是否 經常 到 山 上 滑雪 。 得到 她 的 肯定 回答 後 ， 我 請 她 想像 自己人 在 山 上 ， 看到 一 位 迷人 的 年輕 小伙子 正 從 登山 纜車 走出來 ， 並 開始 沿著 一 個 呈 直線 的 坡度 往 山 下 滑 去 。 這時 如果 她 選擇 順 著 一 個 倒轉 的 擺線 路徑 滑下 山坡 ， 就 會 比 他 更 早 到達 斜坡 底部 … … 而且 可能 和 他 坐 同 一 輛 登山 纜車 再度 上山 。 在 日光 的 照明 下 ， 我 發現 我 用 粉筆 寫 的 推導 有 不少 錯誤 。 我 在 某 個 地方 漏掉 了 常數 ， 它 應該 要 放 在 積分 的 外面 。 喔 ， 昨晚 我 將 積分 的 上下限 設成 ， 看到 自積分 中 消失 ， 我 感到 非常 興奮 ， 當 我 向 那 位 女 服務生 描述 那 種 感覺 時 ， 她 還 感同身受 地 露出 微笑 呢 ！ 向 你 、 卡蘿 及 莉葉 問好 祝 你們 有 個 美好 的 02年 喬夫 就 和 往常 一樣 ， 喬夫 從 他 周遭 的 世界 獲得 靈感 ， 為 自己 找到 很 特別 的 宣洩 管道 。 他 開始 用 彩筆 在 信 上 畫 一些 動物 、 植物 及 人物 來 當做 裝飾 ， 編出 關於 他 所 看到 的 鳥 或 他 所 建造 船屋 的 數學 問題 。 在 下面 這 封 信 裡 ， 他 則 討論 了 電台 節目 《 車談 》 （ Car Talk ） 的 某 個 叩應 問題 ： 如何 製作 刻度尺 來 量測 一 個 圓柱形 油槽 的 現有 油量 。 親愛 的 史蒂夫 ： 12/ 14 /02 一 個 朋友 告訴 我 ， 他 聽 了 那 兩 位 修 車 兄弟 的 節目 （ 就是 提出 「 為 高速 公路 底下 穿過 的 15 條 電線 做 標記 」 來 挑戰 聽眾 的 那 個 節目 ） 。 有 人 打電話 問 他們 ， 他 該 如何 在 他 的 圓柱形 油槽 上 標示 油量 刻度 。 他們 的 回答 是 ： 「 那 是 個 微積分 問題 。 」 於是 我 試 著 去 找 一 個 不需 用到 微積分 的 解法 ， 並且 真的 找到 一 個 只 須 借助 一 部 簡單型 （ 無 作圖 及 演算 功能 ） 計算機 的 非