我 試 著 去 找 一 個 不需 用到 微積分 的 解法 ， 並且 真的 找到 一 個 只 須 借助 一 部 簡單型 （ 無 作圖 及 演算 功能 ） 計算機 的 非 微積 分解 法 。 重新 研究 我 過去 教 過 的 一些 主題 ， 讓 我 覺得 很 有意思 。 現在 就 把 我 得到 的 成果 寫給 你 看 ： 區域 的 面積 是 ( ) .
 
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我 喜歡 這 個 簡潔 的 公式 ， 它 之所以 這麼 簡潔 ， 要 歸功於 極座標 。 當 油槽 滿 時 ， ， 所以 ， 或 設 ， 解 。 為了 解 這 個 方程式 ， 我 抓起 計算機 ， 使用 「 固定點法 」 （ fixed-point method ） 來 求 近似 解 。 我 猜 0.7 是 個 不錯 的 種子數 。 我 輸入 0.7 ， 接著 反覆 按 ， 直到 計算機 在 經過 幾 次 上下 振盪 後 收斂到 。 所以 ， （ 有效 位數 ！ ） 最後 一 步 了 ： 我 希望 油槽 主人 接受 我 在 棒子 上 做 的 油量 標示 ： 後話 ： 我 倉促 地 畫出 第一 頁 的 那 個 傢伙 時 犯 了 一 個 小 錯誤 。 如果 這 傢伙 不 夠 聰明 到 能 算出 棒子 上 的 刻度 ， 那麼 他 的 右手 誤戴 了 左手 手套 也 就 不足為奇 了 。 別 問 我 他 是 怎麼 用 右手 握住 那 根 棍子 的 ； 或許 我 需要 埃歇爾 2 給 我 一些 幫忙 。 我 最近 一直 在 我 的 工作坊 中 擔任 耶誕 老人 助手 的 角色 ， 幫 別人 製作 禮物 。 我 目前 的 差事 是 為 我 兒子 瑞克斯 及 他 兒子 傑西 製作 一些 拼裝 組件 ， 讓 他們 可以 拼裝出 一 間 蝙蝠屋 。 那些 零組件 必須 事先 用 顏色 做 標記 ， 而且 每 個 釘孔 都 要 事先 鑽好 洞 ， 讓 小學 二年級 的 傑西 可以 輕易 地 完成 拼裝 工作 。 我 剛剛 才 幫 艾莉 ， 住在 街尾 的 一 個 單身 女子 ， 油漆 了 一 個 信箱 ； 她 想要 換 個 大 一點 的 信箱 。 問 我 可不可以 在 上面 畫上 某 種 當地 的 植物 或 動物 的 圖樣 ？ 我 選擇 畫 有 冠 的 秋沙鴨 ， 因為 過去 這 個 禮拜 我們 的 沼澤 池塘 裡 就 來 了 一 對 這樣 的 動物 。 艾莉 希望 我 將 公鴨 和 母鴨 都 畫上去 ， 在 信箱 的 兩 面 各 畫 一 隻 。 我 照著 她 的 意思 畫 ， 花 了 幾 天 畫圖 ， 並用 一 個 小時 把 信箱 裝上去 （ 原本 的 信箱 基座 鏽 得 厲害 ， 我 費 了 好 大 的 勁 才 取出 生鏽 的 螺絲 ） 。 我 得意 地 欣賞 自己 的 傑作 ； 最 棒 的 是 ， 我 用 的 壓克力 顏料 安全 通過 第一 天 晚上 那 場 暴風雨 的 考驗 。 我 最近 花 了 很多 時間 編製 花圈 。 我 為 盧密斯 莊園 又 造 了 一 個 大 花圈 （ 150 公分 ） ； 現在 這 已經 成為 一 種 傳統 ， 我們 住在 那裡 的 最後 那 幾 年 ， 我 開始 建立起 這樣 的 傳統 。 花圈 會 擋住 莊園 的 兩扇式 大門 ， 不過 住在 莊園 裡 的 人 平常 都 使用 側門 進出 。 冬季 的 獨木舟賽 讓 我 有 藉口 經常 獨自 一 人 優雅 地 在 長島灣 、 沼澤區 的 小溪 及 漲潮 的 河 中 練習 划船 。 那些 只 在 好 天氣 出來 划船 的 人 已經 不見了 ； 只有 我 、 水鴨 、 蒼鷺 、 鷹隼 、 海鷗 及 天鵝 … … 以及 從 深藍 灰色 的 雲朵 上 飄下來 的 一片片 柔和 雪花 。 蘇 和 我 祝福 你 、 卡蘿 、 莉葉 及 喬安娜 佳節 愉快 。 希望 你們 2003年 有 365 個 美好 的 日子 。 喬夫 1 瑞典 數學家 科赫 （ Helge von Koch , 1870 - 1924 ） 所 提出 的 雪花 曲線 。 2 埃歇爾 （ Maurits Cornelis Escher , __UNDEF__ 1898 – 1972 ） ， 荷蘭 著名 的 圖像 藝術家 ， 有 「 幻覺 藝術 之 父 」 之 稱 ， 因 作品 中 經常 呈現 一些 看來 十分 真實 、 但 實際 上 不可能 存在 的 建築 以及 充滿 數學 哲理 的 圖像 而 聞名 於 世 。 分歧 （2004） 當 改變 發生 時 ， 其 劇烈性 及 無可 預測性 可能 會 有 各 種 不同 的 程度 。 也 因此 ， 人們 發展出 不同 的 數學 工具 來 處理 不同 程度 的 改變 。 在 最 溫和 的 一 端 ， 是 一 個 系統 遵照 微分 方程 做 有 次序 的 改變 ， 而 其中 的 物體 則 根據 運動 定律 來 滑行 。 想想 看 行星 沿軌道 繞行 太陽 ， 或是 一 條 小溪 汩汩 而 流 。 這 正 是 微積分 的 管轄 範圍 ； 微積分 本來 就 是 被 設計 來 處理 這 種 按照 特定 規則 演變 的 系統 。 與 前者 相對 的 另 一 個 極端 ， 則 是 狂野 、 不 合 常理 的 改變 。 它 源自於 系統 所 受到 的 無情 衝擊 ， 外在 的 事件 與 系統 本身 沒有 任何 邏輯 關聯 ； 那 顆 撞擊 地球 並 讓 恐龍 因而 滅絕 的 小行星 就 是 這樣 的 例子 。 剎時間 ， 地球 生態 系統 的 邏輯 變 得 與 最後 的 結果 沒 什麼 關聯 。 微積分 無法 解釋 這樣 的 情況 。 沒有 任何 數學 做 得 到 。 機率論 將 可能 發生 的 事件 統計 數據 列舉出來 ， 嘗試 盡其所能 提供 解釋 ， 但 它 針對 任何 一 個 特定 狀況 的 預測 能力 都 非常 有限 。 介於 這 兩 個 極端 之間 的 是 一些 特別 的 系統 ， 它們 遵循 某些 規則 ， 但 那些 規則 又 可能 導致 系統 本身 的 瓦解 ， 這 聽起來 有點 自相矛盾 。 這些 系統 具有 發生 劇烈 改變 的 潛力 ， 然而 它們 目前 還 處於 休眠 狀態 ， 只 需要 輕輕 一 推 ， 通常 只 是 我們 察覺 不 到 的 一點 壓力 變化 ， 就 足以 將 它們 推落 懸崖 。 我們 這裡 所 談 的 是 一 個 傾倒點 ， 一 個 相變 的 臨界點 ， 也 就是 壓斷 駱駝 脖子 的 那 根 稻草 。 這樣 的 轉變 令 人 感到 驚訝 ， 它 卻 同時 合乎 邏輯 的 要求 。 與 這 現象 有關 的 數學 被 稱為 「 分歧 」 （ bifurcation ） 理論 。 如同 這 個 詞 的 字面 意義 所 暗示 的 ， 「 分歧 」 就 是 分叉 ， 各 種 可能性 的 分叉 。 更 準確 地 說 ， 分歧 是 「 當 系統 的 某 個 參數 做 連續性 的 變化 時 ， 系統 的 動力 機制 所 產生 的 定性 改變 。 」 這裡 所 呈現 的 對比 應該 相當 令 人 震撼 的 ： 系統 的 條件 （ 參數 ） 做 連續性 的 改變 ， 系統 的 行為 卻 以 不 連續 的 方式 在 改變 。 你 逐漸 把 溫度 調高 ， 而 系統 沒 發生 什麼 事 ， 直到 它 來到 分歧點 。 接著 ， 鍋子 開始 沸騰 。 喬夫 的 信