的 最 後面 ， 他 這麼 寫 著 ： 我 剛剛 才 突然 想到 ， 我 可以 等 你 來 拜訪 我們 時 再 將 這 封 信 交給 你 ， 省 一點 郵費 。 我 必須 承認 ， 想到 即將 與 你 見面 ， 我 覺得 很 緊張 。 我們 之間 的 友誼 與 書信 往返 ， 這些 年 來 ， 對 我 意義 重大 。 光 是 想到 你 將 開車 從 紐約市 出發 ， 沿著 95 號 公路 來 拜訪 我們 ， 就 讓 我 受寵若驚 。 希望 你 一路 平安 喬夫 他 因為 要 見 我 而 感到 緊張 ？ 真 令 人 難以置信 。 我 才 因為 要 見 他 而 緊張 呢 ！ 他 有 什麼 好 緊張 的 ？ 1 這 是 一 個 無 單位 的 量 ， 其 數值 大小 可 作為 流體 會 呈現 層流 或 亂流 的 判斷 依據 。 2 法國 醫師 及 生理學家 泊肅葉 （ Jean Poiseuille , __UNDEF__ 1797 - 1869 ） 發現 的 公式 ， 描述 了 液體 通過 狹長 圓管 時 ， 其 流量 與 管徑 、 管長 、 壓差 及 黏滯 係數 之間 的 關係 。 3 謝克爾頓 （ Ernest Henry Shackleton , 1874 – 1922 ） ， 英國 著名 的 南極 探險 英雄 ， 以 帶領 「 堅忍號 」 （ Endurance ） 探險隊 遠征 南極 而 聞名 。 4 科爾． 波特 （ Cole Porter , 1891 - 1964 ） ， 美國 著名 的 抒情 歌曲 作曲家 。 海龍 公式 1 （ 2005 - 目前 ） 微積分 的 發展 始於 季諾 2 關於 時間 、 運動 及 改變 的 幾 個 悖論 ， 他 最 著名 的 悖論 談到 阿基里斯 3 及 烏龜 。 考慮 一下 這 位 偉大 戰士 與 不起眼 的 烏龜 之間 的 一 場 賽跑 。 在 這 場 比賽 中 ， 阿基里斯 讓 烏龜 從 途中 的 某 處 起跑 ， 但 當 阿基里斯 到達 烏龜 的 起跑點 時 ， 烏龜 已經 往 前 爬 了 一點 。 等到 阿基里斯 到達 那裡 時 ， 烏龜 又 前進 了 一點點 ， 所以 牠 還是 處在 領先 位置 。 因此 ， 一 個 飛毛腿 永遠 沒辦法 跑贏 一 個 慢郎中 ！ 常識 告訴 我們 事實 並 不 是 這樣 ， 所以 季諾 的 結論 是 ： 常識 是 錯 的 。 改變 只 是 一 種 幻覺 。 你 應該 相信 你 的 心智 ， 而 不 是 別的 東西 。 大多數 的 數學家 會 告訴 你 ， 季諾 是 被 無窮 級數 搞糊塗 了 。 現在 我們 已經 懂得 微積分 ， 所以 不 需要 再 去 理會 季諾 的 說法 。 然而 對於 季諾 的 困擾 ， 我 有 一定 程度 的 同情 。 重新 翻閱 我 和 喬夫 的 通信 內容 ， 讓 我 深切 體會到 「 過去 」 正 朝著 「 現在 」 進逼 ， 一 年 接 一 年 從 背後 追上來 。 身處 於 這 個 緩慢 移動 著 的 「 現在 」 ， 喬夫 和 我 就 像 兩 隻 被 時間 追逐 的 烏龜 。 他 知道 我 正在 寫 關於 我們 之間 友誼 的 書 。 每當 我們 在 電話 中 談話 ， 而 話題 轉到 這 本 書 上 ， 他 總是 說 希望 能 活 著 看到 這 本 書 出版 。 時間 拉回 2007年 ， 當時 我們 已經 有 大約 兩 年 沒有 聯絡 了 。 2007年 2月 15日 ， 因為 很 久 沒 跟 他 聯絡 ， 我 寫信 向 他 致歉 。 幾 天 後 蘇 打電話 過來 。 「 唐恩 第二 次 中風 ， 」 她 說 ， 「 這 次 中風 讓 他 雙眼 失去 部分 視力 。 不過 只有 右 半 邊 的 東西 他 看 不 到 ； 他 看 左 半 邊 的 東西 還可以 。 他 不再 能 開車 ， 但 還是 會 用 腳踏車 拖 著 他 的 獨木舟 到 河 邊 ， 雖然 他 的 反應 已經 不 像 以前 那麼 快 ， 但 中風 前 的 那些 老 技巧 倒是 都 還 記得 。 要 找 他 聽 電話 嗎 ？ 」 當然 ， 我 說 ， 我 很 想 跟 他 講講話 。 我 嚇壞 了 。 喬夫 拿起 話筒 ， 他 的 聲音 還是 像 以前 一樣 溫暖 。 「 別 擔心 ， 」 他 安慰 我 ， 「 雖然 我 現在 右 半 邊 大約 只 能 看到 七 度 的 範圍 ， 但 我 告訴 自己 ： 接下來 要 通過 的 是 右側 柵門 ， 然後 直接 把 頭 轉向 右邊 。 我 的 脖子 還 能 靈活 轉動 ， 這 都 要 歸功於 年輕 時 在 急流 彎道 競速賽 中 ， 我 經常 要 不斷 轉頭 。 」 幾 個 月 後 ， 我 寫給 他 一 封 短信 ， 請 他 同意 我 重製 所有 他 寄給 我 的 信 。 他 用 不 太 穩 的 手寫 了 一 封 回信 ， 信 中 還 有 多 處 寫錯 再 塗改 的 地方 ， 想必 這 讓 他 感到 很 不好意思 。 親愛 的 史蒂夫 ： 07年 11月 5日 ， 星期一 最近 這 次 中風 讓 我 的 短期 記憶 受到 影響 ， 但是 還好 ， 騎車 出去 外面 逛 、 並 在 附近 水域 划獨 木舟 之後 ， 我 還 找 得 到 回家 的 路 。 對於 你 打算 將 我們 這些 年 來 的 書信 整理成 書 ， 我 感到 非常 欣慰 。 我 給 你 百分之百 的 授權 ， 將 我們 這些 年 間 的 通信 內容 寫出來 。 你 寫 過 非常 多 封 信 ， 來 回答 我 請教 你 那些 困擾 我 的 數學 概念 。 我 的 學生 們 來 上課 時 ， 問 的 第一 個 問題 經常 是 ： 「 今天 有沒有 收到 史蒂夫 的 回信 ？ 」 我 不 敢 相信 這些 信件 除了 對 我們 這 段 「 老師 變成 學生 」 的 師生 關係 有 意義 之外 ， 對 其他 人 也 會 有 幫助 。 你 應該 看得出來 ， 寫 這 封 感謝 信 時 我 塗改 了 好幾 個 地方 。 我 只是 希望 對 這些 年 間 你 所 為 我 做 的 事 ， 表達 衷心 的 感謝 。 （ 我 會 請 蘇 幫 我 校 對 一下 這 封 信 ！ ） 你 最 忠誠 的 ， 唐恩 在 寫 這 本 書 的 過程 中 我 一直 在 想 ， 我 到底 從 喬夫 那裡 學到 些 什麼 。 這麼多 年 來 ， 我 的 回答 大概 都 會 是 ： 沒 多少 東西 ； 意思 是 ， 我 沒 從 他 那裡 學到 多少 數學 。 這 是 真 的 ， 即便 是 我 讀 高中 的 階段 。 但是 現在 ， 我 開始 能 體會 他 給 了 我 些 什麼 。 他 讓 我 可以 教 他 。 在 我 還 沒有 任何 學生 之前 ， 他 就 是 我 的 學生 。 他 似乎 知道 這 正 是 我 最 需要 的 。 而 他 給 我 機會 、 鼓勵 我 ， 並且 幫助 我 ， 就 像 所有 偉大 的 教師 所 做 的 那樣 。 然而 現在 我 還 看出 我 確實 從 他 那裡 學到 某些 東西 ， 某些 有 深刻 數學 內涵 的 事情 ： 關於 如何 過