樂器 兩 邊 都 有 開口 （ 例如 長笛 或 短笛 ） ， 而 空氣柱 能夠 以 它 的 諧波 頻率 振動 ， 那麼 每 個 諧波 頻率 就 都 會 是 基頻 的 倍數 ， 就 和 琴弦 的 例子 一樣 。 但是 對 一 個 一 端 是 閉口 、 另 一 端 是 開口 的 木管 樂器 來 說 ， 管子 的 形狀 會 對 共振 頻率 產生 很 大 的 影響 。 如果 管腔 （ bore ） 是 圓錐形 的 （ 例如 雙簧管 或 薩克斯風 ） ， 那麼 那 樂器 就 會 和 長笛 一樣 產生 所有 的 諧波 。 然而 如果 管子 是 圓柱形 （ 例如 單簧管 ） ， 那麼 空氣柱 就 只 會 以 基頻 的 奇數 倍 頻率 振動 ： 三 倍 、 五 倍 、 七 倍 等等 。 而 根據 一些 更 複雜 的 理由 ， 所有 的 銅管 都 是 以 所有 的 諧波 頻率 在 共振 ， 就 和 長笛 一樣 。 比較 能 靠 直覺 了 解 的 是 ， 空氣柱 愈 長 ， 頻率 就 愈 低 ， 聲音 的 音高 也 就 愈 低 。 如果 管子 的 長度 變成 一半 ， 第一 諧波 的 頻率 就 會 變成 兩 倍 。 這 就 是 短笛 能 發出 如此 高 的 樂音 、 巴松管 能 發出 如此 低 的 樂音 ， 而 澳洲 的 迪吉里杜管 （ didgeridoo ） 可以 發出 非常 非常 低 的 樂音 的 原因 。 這 個 一般性 原則 也 解釋 了 為什麼 與 較 大 、 較 長 的 上低音 薩克斯風 比起來 ， 較 小 的 薩克斯風 （ 高音 及 中音 薩克斯風 ） 可以 吹奏出 比較 高 的 樂音 。 這 也 是 為什麼 管風琴 有 一 系列 各 種 長度 的 管子 ， 有 些 管風琴 可以 產生 涵蓋 九 個 八 度 的 樂音 。 我們 需要 一 根 非常 大 的 管子 — — 64 英尺 （ 19.5 公尺 ） 長 、 兩 端 都 是 開口 — — 才 能 產生 一 個 大約 8.7 赫茲 的 基頻 。 這 已經 是 低於 人類 耳朵 所 能 聽到 的 頻率 了 ， 雖然 你 可以 感覺到 它 的 振動 。 全 世界 只 有 兩 根 這麼 巨大 的 管風琴管 ， 因為 它們 不 太 派 得 上 用場 。 一 根 比 它們 短 十 倍 的 管子 會 發出 十 倍 高 的 基頻 ， 也 就 是 87 赫茲 。 一 根 短 一百 倍 的 管子 則 會 產生 大約 870 赫茲 的 基頻 。 管樂 演奏 者 並 不 只 是 把 氣 吹到 樂器 裡 ， 他們 還 會 按住 或 打開 樂器 上 的 孔 ， 這 可以 讓 空氣柱 變短 或 變長 ， 因而 升高 或 降低 樂器 所 產生 的 頻率 。 這 也 正 是 為什麼 ， 在 吹 兒童 的 吹笛 時 ， 當 你 的 手指 按住 所有 的 孔 ， 來 增加 空氣柱 的 長度 時 ， 所 發出 的 音 最 低 。 同樣 的 原則 也 適用 於 銅管 樂器 。 空氣柱 愈 長 ， 它 所 產生 的 音 就 愈 低 （ 即使 管子 繞 了 好幾 個 彎 ） ， 也 就 是 ， 諧波 的 頻率 愈 低 。 音高 最 低 的 土巴號 ， 就 是 我們 所 知 的 降 B 調 或 BB-flat 土巴號 ， 有 一 根 18 英尺 長 的 管子 ， 基頻 約 30 赫茲 ， 此外 還 有 額外 的 轉閥 （ rotary valve ） 可以 把 那 個 音 降到 20 赫茲 ； 降 B 調 小 喇叭 的 管子 則 大約 只有 4.5 英尺 長 。 小 喇叭 或 土巴號 上 的 按鍵 可以 開啟 或 關閉 其他 的 管子 來 改變 共振 頻率 的 音高 。 伸縮 喇叭 可 說 是 最 容易 讓 我們 看出 這 效應 的 樂器 。 把 拉管 往 外 拉 ， 會 增加 空氣柱 的 長度 ， 降低 它 的 共振 頻率 。 我 會 在 課堂 上 用 木製 的 伸縮 喇叭 吹奏 《 聖誕 鈴聲 》 （ Jingle Bells ） ， 學生 很 喜歡 它 ， 我 從來 沒 告訴 他們 這 是 我 唯一 會 吹 的 曲調 。 事實 上 ， 演奏 樂器 對 我 來說 是 很 大 的 挑戰 ， 所以 不論 這 堂 課 我 已經 上 過 幾 次 ， 上課 前 我 都 還是 得 練習 一 次 。 我 甚至 在 拉管 上 做 記號 （ 其實 等於 是 小抄 ） ， 上面 記 著 1 、 2 、 3 等 ， 因為 我 連 樂譜 都 不會 看 。 就 如 我 先前 說 過 ， 我 完全 欠缺 音樂 細胞 ， 但 這 無礙 於 我 對 音樂 的 欣賞 ， 也 無礙 於 我 從 音樂 實驗 中 得到 許多 樂趣 。 在 寫 這 本 書 時 ， 我 利用 一 個 一 公升 裝 寶特瓶 裡 的 空氣柱 做 了 一些 有趣 的 實驗 。 那 並 不 是 個 完美 的 空氣柱 ， 因為 瓶頸 會 逐漸 變寬成 瓶身 的 實際 寬度 。 你 也許 想像 得 到 ， 瓶頸 的 物理 非常 複雜 。 但是 管樂 的 基本 原則 — — 空氣柱 愈 長 ， 共振 頻率 就 愈 低 — — 仍然 成立 。 你 可以 輕易 驗證 這 點 。 把 一 個 空 寶 特瓶 或 紅酒瓶 裝到 快滿 （ 用水 ！ ） ， 嘗試 對著 開口處 吹氣 。 你 可能 需要 練習 一下 ， 但是 很 快 你 就 可以 讓 空氣柱 以 它 的 共振 頻率 振動 。 這 聲音 一 開始 頻率 很 高 ， 但是 當 你 將 裡面 的 東西 喝掉 愈 多 （ 你 現在 知道 為什麼 我 建議 你 瓶子 裡 裝 水 了 吧 ！ ） ， 空氣柱 的 長度 就 愈 長 ， 基頻 的 音高 就 又 降下來 。 我 還 發現 ， 空氣柱 的 長度 愈 長 ， 聲音 愈 好聽 。 第一 諧波 的 頻率 愈 低 ， 你 就 愈 可能 額外 產生 一些 頻率 較 高 的 諧波 ， 聲音 也 因而 會 有 比較 複雜 的 音質 。 你 可能 會 認為 這些 聲音 是 因為 瓶子 的 振動 而 產生 的 ， 就 像 弦 的 振動 會 產生 聲音 一樣 ， 而且 你 也 真的 感覺到 瓶子 在 振動 ， 就 像 你 可以 感覺到 薩克斯風 在 振動 一樣 。 但是 ， 再次 提醒 你 ， 是 瓶子 裡 的 空氣柱 在 振動 。 為 了 確認 這 點 ， 想想 下面 這 個 謎題 。 拿 兩 個 完全 相同 的 酒杯 ， 一 個 是 空 的 ， 另 一 個 半 滿 ， 然後 用 一 根 湯匙 輕 敲 杯子 或 用 溼 手指 摩擦 杯緣 ， 以 激發 它們 各自 的 第一 諧波 ， 那麼 哪 一 個 杯子 的 頻率 會 比較 高 ？ 為什麼 ？ 我 問 這 個 問題 其實 不 太 公道 ， 因為 我 已經 故意 導引 你 去 得到 錯誤 的 答案 ， 抱歉 ！ 但是 ， 或許 你 可以 自己 想出 答案 。 同樣 的 原理 也 可以 應用 在 那些 長 約 30 英寸 （ 約 76 公分 ） 、 有 一圈圈 摺痕 、 可