它 一定 是 太陽 的 吸引力 。 因此 前面 方程式 裡 的 兩 個 力 其實 是 同 一 個 力 ， 它們 必須 彼此 相等 ： [ 4 ] 如果 我們 重新 整理 一下 這 個 方程式 （ 這 是 複習 高中 數學 的 好 機會 ） ， 我們 就 會 發現 太陽 的 質量 等於 ： [5 ] 請 注意 ， 行星 的 質量 m2 已經 沒 出現 在 方程式 [ 5 ] 裡 ； 它 並 不 在 這 幅 圖像 裡 ， 我們 只 需要 知道 行星 到 太陽 的 平均 距離 r ， 以及 它 的 軌道 週期 T 。 這 不 令 你 吃驚 嗎 ？ 畢竟 ， m2 出現 在 方程式 [ 1 ] 及 方程式 [ 2 ] 裡 。 但是 它 同時 出現 在 兩 個 方程式 裡 ， 而 這 正好 就 是 當 我們 設 Fgrav 等於 Fc 時 ， m2 會 被 消掉 的 原因 。 那 就 是 這 個 方法 的 美妙 之 處 ， 這 一切 我們 都 要 感謝 牛頓 爵士 ！ 方程式 [ 5] 告訴 我們 ， 對 所有 的 行星 而言 ， __UNDEF__ 都 是 相同 的 。 即使 它們 到 太陽 的 距離 各 不 相同 ， 軌道 週期 也 相差 很 大 ， 但 的 值 卻 都 一樣 。 德國 天文學家 及 數學家 克卜勒 在 1619年 ， 比 牛頓 還 早 很多 ， 就 已經 發現 了 這 個 驚人 的 結果 。 但是 為什麼 這 個 比值 — — 半徑 的 三 次方 與 軌道 週期 的 平方 之 比 — — 會 是 個 常數 ， 卻 一直 沒 人 了解 。 一直 到 六十八 年 後 ， 才 由 天才 牛頓 證明 了 這 是 他 萬有引力 定律 的 自然 結果 。 總括 來 說 ， 方程式 [ 5] 告訴 我們 ， 如果 我們 知道 從 任何 一 顆 行星 到 太陽 的 距離 r ， 那 顆 行星 的 軌道 週期 T ， 以及 G ， 那麼 我們 就 可以 算出 太陽 的 質量 m1 。 在 十七世紀 之前 ， 天文學家 就 已經 相當 準確 地 知道 行星 的 軌道 週期 。 太陽 與 行星 之間 的 距離 也 早 在 十七世紀 之前 就 已經 相當 準確 地 被 計算出來 ， 不過 那 只是 用 相對 距離 來 表示 。 換句話說 ， 天文學家 知道 金星 到 太陽 的 平均 距離 是 地球 到 太陽 的 距離 的 72.4％ ， 而 木星 到 太陽 的 平均 距離 是 地球 到 太陽 距離 的 五千兩百 倍 。然 而 ， 這些 距離 的 絕對 數值 卻 完全 是 另 一 回 事 。 在 十六世紀 ， 也 就是 偉大 的 丹麥 天文學家 第谷 的 年代 ， 天文學家 所 認為 的 地球 到 太陽 的 距離 ， 比 實際 距離 （ 將近 一億五千萬 公里 ） 小 二十 倍 。 在 十七世紀 初期 ， 克卜勒 才 得到 一 個 比較 準確 一點 的 距離 ， 但是 它 還是 比 實際 距離 小 了 七 倍 。 因為 方程式 [ 5 ] 指出 太陽 的 質量 正 比 於 它 到 行星 距離 的 三 次方 ， 所以 如果 那 個 距離 r 小 了 七 倍 ， 那麼 太陽 的 質量 就 會 小 73 （ 也 就 是 三百四十三 ） 倍 ， 所以 那 公式 的 用處 不 大 。 一 個 重大 突破 發生 在 1672年 ， 當時 義大利 科學家 卡西尼 （ Giovanni Cassini ） 測量 了 從 地球 到 太陽 的 距離 ， 其 準確度 大約 是 在 7％ 的 誤差 範圍 內 （ 在 當時 這 是 非常 可觀 的 成就 ） ， 這 表示 r3 的 誤差 只有 大約 22％ 。 G 的 誤差 範圍 則 很 可能 至少 達 30％ 。 所以 我 的 猜測 是 ， 在 十七世紀 末 ， 太陽 質量 的 準確度 不會 比 50％ 還好 。 因為 當時 人們 已經 很 準確 地 知道 從 太陽 到 各 行星 的 相對 距離 ， 所以 得知 太陽 到 地球 的 絕對 距離 在 誤差 7％ 以內 ， 就 表示 （ 在 十七世紀 末 ） 其他 五 顆 已 知 行星 到 太陽 的 絕對 距離 也 可以 被 算出來 ， 而 其 誤差 同樣 是 在 7％ 的 範圍 內 。 上面 這 個 計算 太陽 質量 的 方法 ， 也 可以 被 用來 計算 木星 、 土星 及 地球 的 質量 。 這 三 顆 行星 都 有 已 知 的 衛星 環繞 著 它們 運行 ； 1610年 ， 伽利略 發現 了 木星 的 四 個 衛星 ， 它們 現在 就 被 稱為 伽利略 衛星 （ Glailean moons ） 。 如果 m1 是 木星 的 質量 ， 而 m2 是 它 的 其中 一 顆 衛星 的 質量 ， 那麼 我們 就 可以 用 方程式 [ 5 ] 來 計算出 木星 的 質量 ， 方法 就 和 我們 計算 太陽 質量 時 一樣 ， 只不過 這 時候 的 r 是 木星 與 它 的 衛星 的 距離 ， 而 T 是 那 顆 衛星 環繞 木星 運行 的 軌道 週期 。 那 四 顆 伽利略 衛星 （ 木星 總共 有 六十三 顆 衛星 ！ ） 的 軌道 週期 分別 是 1.77 天 、 3.55 天 、 7.15 天 ， 以及 16.69 天 。 軌道 距離 及 G值 的 準確度 ， 這些 年 來 有 了 很 大 的 進展 。 到 十九世紀 ， G值 的 準確度 已經 到達 誤差 1％ 以內 。 現在 它 的 準確度 更 已 到達 0.01％ 內 。 讓 我 給 你 看 一 個 實際 數值 的 例子 。 我們 可以 一起 動手 ， 使用 方程式 [ 5 ] ， 以及 月球 的 軌道 （ 月球 的 質量 為 m2 ） 來 算出 地球 的 質量 m1 。 要 正確 地 使用 方程式 [ 5 ] ， 距離 r 的 單位 應該 是 公尺 ， 而 T 的 單位 則 是 秒 。 如果 我們 接著 把 G 值 用 6.673 × 10 - 11 代入 ， 那麼 我們 就 會 得到 以 公斤 為 單位 的 質量 。 地球 到 月球 的 平均 距離 r 是 3.8440 × 108 公尺 （ 三十八萬四千四百 公里 ） ； 它 的 軌道 週期 T 是 2.3606 × 106 秒 （ 27.32 天 ） 。 如果 我們 把 這些 數字 代入 方程式 [ 5 ] 裡 ， 我們 會 發現 地球 的 質量 是 6.030 × 1024 公斤 。 目前 最 精準 的 地球 質量值 大約 是 5.974 × 1024 公斤 ， 它 只 比 我 所 算出 的 值 小 1％ ！ 為什麼 有 這樣 的 誤差 ？ 其中 一 個 原因 是 ， 我們 所 使用 的 方程式 假設 月球 的 軌道 是 圓 的 ， 但 事實 上 它 有 個 方向 比較 長 ， 是 我們 所 說 的 橢圓形 。 也就是說 ， 月球 與 地球 的 最 短 距離 大約 是 三十六萬 公里 ， 而 最 長 距離 大約 是 四十萬五千 公里 。 當然 ， 牛頓 定律 也 可以 輕易 地 處理 橢圓形 軌道 ， 但是 那些 數學 可能 會 讓 你 頭昏腦脹 。 （ 或許 你 現在 就 已經 頭昏腦脹 了 ！ ） 還 有 另 一 個 理由 可以 解釋 為什麼 我們 計算出來 的 地球 質量 有些 誤差 。 我們 假設 月球 繞 著 地球 轉 ， 而 那 個 圓 的 中心 就是 地球 的