成真 時 ， 展露 了 或許 是 最 高 的 智慧 。 舉例 來 說 ， 正 多面體 具有 高度 對稱性 ， 正 十二 面體 和 正 二十面體 有 60 種 不 改變 其 呈現 的 旋轉 方式 （ 60 恰巧 是 其 邊數 的 兩 倍 的 事實 ， 並非 偶然 ） 。 當 柏拉圖 以 這些 形體 做為 宇宙論 的 基礎 時 ， 他 正確 的 指出 了 ： 任何 企圖 描述 大自然 的 可行 理論 中 ， 對稱性 必須 是 它 的 核心 性質 。 如果 想要 構築 萬有 理論 ， 統一 所有 的 作用力 ， 而且 所有 構成 要素 只 需 遵守 一 兩 組 法則 ， 我們 就 必須 發現 潛藏 其中 的 對稱性 ， 因為 這 是 足以 生發 萬物 、 以簡 馭繁 的 法則 。 顯然 的 ， 這些 形體 的 對稱 性質 直接 源自 其 幾何 形狀 。 這 是 柏拉圖 的 第二 個 重要 貢獻 ： 除了 理解到 數學 是 測度 宇宙 的 關鍵 之外 ， 他 提出 了 今日 所謂 物理 幾何化 （ geometrization of physics ） 的 思考 理路 ， 就 像 愛因斯坦 所 促成 的 大躍進 一樣 。 在 偉大 的 前 科學 時代 ， 柏拉圖 就 指出 大自然 的 元素 與 其 性質 ， 還 有 作用 其 上 的 力 ， 可能 都 可 歸源於 某 個 潛藏 於 幕後 的 幾何 結構 ， 它 主導 了 這 一切 。 換句話說 ， 我們 所 見 的 世界 ， 只 是 這 個 不可 見 幾何 形體 的 反映 罷了 。 這 個 觀念 深得 我 心 ， 也 和 我 最 知名 的 數學 證明 緊密 相關 （ 對於 曾 聽說 過 我 名字 的 人 而言 ） 。 雖然 有 些 人 可能 覺得 這 太 牽強 ， 只 是 大張旗鼓 為 幾何 宣傳 罷了 。 但是 ， 這 個 想法 或 有 真意 ， 各位 不妨 拭目以待 ， 靜心 閱讀 下去 。 圖 0.1 柏拉圖 物體 之 名 源自 希臘 哲人 柏拉圖 ， 共有 五 種 ： 正 四面體 、 正六面體 （ 正 立方體 ） 、 正八面體 、 正十二面體 、 正 二十面體 。 所有面 、 邊 、 角度 都 相等 （ 全 等 ） 是 這些 立體 獨有 的 特色 。 第1 章 __UNDEF__ 想像 邊緣 的 宇宙 對 數學家 而言 ， 維度 指 的 是 一 種 「 自由度 」 ， 也 就 是 在 空間 中 運動 的 獨立 程度 。 在 我們 頭 上 飛來飛去 的 蒼蠅 可以 向 任何 方向 自由 移動 ， 只要 沒有 碰到 障礙 ， 它 就 擁有 三 個 自由度 。 但 維度 是 不 是 就 只 有 那麼多 ？ 望遠鏡 的 發明 以及 隨後 多 年 以來 的 不斷 改良 ， 幫助 我們 確認 了 一 項 事實 ： 宇宙 比 我們 能 看到 的 還要 浩瀚 、 廣大 。 事實 上 ， 目前 所 能 得到 的 最佳 證據 顯示 ， 宇宙 將近 四分之三 是 以 一 種 神祕 、 看 不 見 的 形式 存在 ， 稱為 「 暗能 」 （ dark energy ） ， 其餘 大部分 則 是 「 暗質 」 （ dark matter ） * ， 再 剩下來 構成 一般 物質 （ 包括 我們 人類 在 內 ） 的 ， 只 佔 百分之四 。 而且 物 如其名 ， 暗能 和 暗質 在 各 方面 都 是 「 暗 的 」 ： 既 看 不 見 ， 也 難以 測度 。 我們 所 能 看見 的 這 一 小 部分 的 宇宙 ， 構成 了 一 個 半徑 大約 137億 光年 的 球體 。 這 一 球體 有時 被 稱為 「 哈伯體 」 （ Hubble volume ） ， 但是 沒 人 相信 宇宙 的 整體 範圍 只有 如此 而已 。 根據 目前 所 得 的 最佳 數據 ， 宇宙 似乎 是 無窮 延伸 的 ── 不管 我們 向 哪 個 方向 看去 ， 如果 你 畫 一 條 直線 ， 真的 可以 從 這裡 一直 延伸到 永恆 。 不過 ， 宇宙 仍 有 可能 是 彎曲 而且 有 界限 的 。 但 即使 如此 ， 可能 的 曲率 也 會 非常 微小 ， 以至於 根據 某些 分析 顯示 ， 宇宙 必然 至少 有 上千 個 哈伯體 那麼 大 。 最近 發射 的 普朗克 太空 望遠鏡 ， 或許 會 在 幾 年 內 揭露 宇宙 可能 比 一百萬 個 哈伯體 還 大 ， 而 我們 所在 的 哈伯體 只 是 其中 之 一 而已 1 。 我 相信 天文 物理學家 的 這 一 說法 ， 也 瞭解 有 些 人 可能 會 對 上面 引述 的 數字 有 不同 意見 ， 但 無論如何 ， 有 件 事實 是 不容 辯駁 的 ： 我們 目前 所 見到 的 ， 不過 是 冰山一角 。 而 在 另 一 個 極端 ， 顯微鏡 、 粒子 加速器 以及 各 種 顯影 儀器 持續 揭露 宇宙 在 微小 尺度 上 的 面貌 ， 顯現 了 人類 原先 無法 觸及 的 世界 ， 像是 細胞 、 分子 、 原子 ， 以及 更 小 的 物體 。 如今 我們 不再 對 這 一切 感到 訝異 ， 完全 可以 期待 望遠鏡 會 向 宇宙 的 更 深處 探索 。 另一方面 ， 顯微鏡 和 其他 儀器 則 會 把 更多 不 可 見 之 物 轉為 可 見 ， 呈現 在 我們 眼前 。 最近 幾十 年 間 ， 由於 理論 物理學 的 發展 ， 再 加上 一些 我 有幸 參與 的 幾何學 進展 ， 帶來 了 一些 更 令 人 驚訝 的 觀點 ： 宇宙 不止 超出 我們 所 能 看見 的 範圍 ， 而且 可能 還 有 更多 的 維度 ， 比 我們 所 熟悉 的 三 個 空間 維度 還 要 多 一些 。 當然 ， 這 是 個 令 人 難以 接受 的 命題 。 因為 關於 我們 這 個 世界 ， 假如 有 件 事 是 我們 確知 的 ， 假如 有 件 事 是 從 人類 開始 有 知覺 就 知道 ， 是 從 開始 探索 世界 時 就 曉得 的 ， 那 就 是 空間 維度 的 數目 。 這 個 數目 是 三 。 不 是 大約 等於 三 ， 而是 恰恰 就 是 三 。 至少 長久以來 我們 是 這樣 認定 的 。 但 也許 ， 只是 也許 ， 會不會 還 有 其他 維度 的 空間 存在 ， 只不過 因為 它 太 小 ， 以至於 我們 無法 察覺 呢 ？ 而且 儘管 它 很 小 ， 卻 可能 扮演 非常 重要 的 角色 ， 只是 從 人們 習以為常 的 三維 視野 無法 體認到 這些 罷了 ！ 這 個 想法 雖然 令 人 難以 接受 ， 但 從 過去 一 個 世紀 的 歷史 得知 ， 一旦 離開 日常 經驗 的 領域 ， 我們 的 直覺 就 不 管用 了 。 如果 運動 速度 非常 快 ， 狹義 相對論 告訴 我們 ， 時間 就 會 變慢 ， 這 可 不 是 憑 直覺 可以 察覺到 的 。 另外 ， 如果 我們 把 一 個 東西 弄得 非常 非常 小 ， 根據 量子 力學 ， 我們 就 無法 確知 它 的 位置 。 如果 做 實驗 來 判定 它 在 甲門 或者 乙門 的 後面 ， 我們 會 發現 它 既 不 在 這兒 也 不 在 那兒 ， 因此 它 沒有 絕對 的 位置 ， 有時 它 甚至 可能 同時 出現 在 兩 個 地方 ！ 換言之 ， 怪事 可能 發生 ， 而且 必 將 發生 。 微小 、