維度 可能 就 是 怪事 之 一 。 如果 這 種 想法 成真 ， 那麼 可能 會 有 一 種 邊緣性 的 宇宙 ， 一 處 捲摺 在 宇宙 側邊 之外 的 地域 ， 超出 我們 的 感官 知覺 ， 而 這 會 在 兩 方面 具有 革命 意義 ： 單 僅 是 更多 維度 的 存在 ── 這 已經 是 科幻 小說 一百多 年 來 的 註冊商標 ── 這 件 事 本身 就 夠 令 人 驚訝 ， 足以 列入 物理學史 上 的 最 重大 發現 了 。 而且 這樣 的 發現 將 會 是 科學 研究 的 另 一 起點 ， 而 非 終點 。 這 就 好像 站 在 山丘 或 高塔 上 的 將軍 ， 得益於 新 增加 的 垂直 向度 ， 而 能 把 戰場 上 的 局勢 看 得 更 清楚 。 當 從 更 高維 的 視點 觀看 時 ， 我們 的 物理 定律 也 可能 變 得 更 明晰 ， 因而 也 更 容易 理解 。 從 蒼蠅 的 世界 看 維度 的 意義 我們 都 很 熟悉 三 個 基本 方向 上 的 移動 ： 東西 、 南北 、 上下 。 （ 或者 也 可以 說 是 左右 、 前後 、 上下 。 ） 不管 我們 去 哪裡 ── 不論 是 開車 上 雜貨店 或是 飛到 大溪地 ── 我們 的 運動 都 是 這 三 個 獨立 方向 的 某 種 基本 組合 。 我們 對 這 三 個 維度 太過 熟悉 ， 以致於 要 設想 另 一 個 維度 ， 並且 指明 它 確切 指向 哪裡 ， 似乎 是 不可能 的 。 長久以來 ， 似乎 我們 所 見 的 即 是 宇宙 的 一切 。 事實 上 ， 早 在 兩千多 年 前 ， 亞里士多德 在 《 論天 》 （ On the Heavens ） 中 就 論稱 ： 「 可 在 一 個 方向 上 分割 的 量 ， 稱為 線 ； 如果 可 在 兩 個 方向 ， 稱為 面 ； 如果 可 在 三 個 方向 ， 則 稱為 體 。 除此之外 ， 再 無 其他 量 。 因為 維度 只 有 三 個 。 」 2 西元 150年 時 ， 天文學家 暨 數學家 托勒密 嘗試 證明 不可能 有 四 個 維度 ， 堅持 認為 不可能 畫出 四 條 相互 垂直 的 直線 。 他 主張 ， 第四 條 垂直線 「 根本 無法 量度 ， 也 無法 描述 。 」 3 然而 ， 與其 說 他 的 論點 是 嚴格 的 證明 ， 還不如 說 是 反映 了 人們 沒有 能力 看到 並 描繪 四維 空間 的 事實 。 對 數學家 而言 ， 維度 指 的 是 一 種 「 自由度 」 （ degree of freedom ） ， 也 就 是 在 空間 中 運動 的 獨立 程度 。 在 我們 頭 上 飛來飛去 的 蒼蠅 可以 向 任何 方向 自由 移動 ， 只要 沒有 碰到 障礙 ， 它 就 擁有 三 個 自由度 。 現在 假設 這 隻 蒼蠅 降落到 一 座 停車場 ， 而 被 一 小 塊 新鮮 柏油 黏住 。 當 它 動彈不得 時 ， 這 隻 蒼蠅 只有 零 個 自由度 ， 實質 上 被 限制 在 單一點 上 ， 亦即 身處 於 一 個 零維 的 世界 。 但 這 小 東西 努力 不懈 ， 經過 一 番 奮鬥 後 從 柏油 掙脫 出來 ， 只 可惜 不幸 翅膀 受 了 點 傷 。 不能 飛翔 之後 ， 它 擁有 兩 個 自由度 ， 可以 在 停車場 的 地面 上 隨意 漫步 。 然後 ， 我們 的 主角 察覺到 有 掠食 者 （ 或許 是 一 隻 食蟲 的 青蛙 ） ， 因此 逃進 一 根 丟棄 在 停車場 的 生鏽 排氣管 ， 蒼蠅 此時 只有 一 個 自由度 ， 暫時 陷入 這 根 細長 管子 的 一 維 、 亦即 線狀 的 世界 。 但 維度 是 不 是 就 只 有 那麼多 ？ 一 隻 蒼蠅 在 天 上 飛 ， 被 柏油 黏住 ， 在 地 上 爬 ， 逃進 一 根 管子 裡 ── 這 是否 就 涵括 了 一切 可能性 ？ 亞里士多德 或 托勒密 應該 會 回答 「 是 」 ， 對 一 隻 沒有 高度 冒險 精神 的 蒼蠅 而言 ， 或許 也 確是 如此 ， 但是 對 當代 數學家 來 說 ， 故事 並 沒有 就此 結束 ， 因為 他們 通常 不 認為 有 什麼 明顯 理由 只 停留 在 三 個 維度 。 我們 反而 相信 ， 想要 真正 理解 幾何學 的 觀念 ， 像是 曲率 或 距離 ， 需要 從 所有 可能 的 維度 ， 從 零維 到 n維 來 理解 它 （ 其中 n 可以 是 非常 大 的 數 ） 。 如果 只 停留 在 三維 ， 我們 對 這 個 概念 的 掌握 就 不 算 完整 ， 理由 是 ： 比起 只 在 某些 特定 情境 才 適用 的 斷言 ， 如果 大自然 的 定律 或 法則 在 任何 維度 的 空間 中 都 有效 ， 那麼 它 的 理論 威力 更 大 ， 也 可能 更 基本 。 甚至 即使 你 所 要 對付 的 問題 僅 限於 二 或 三維 ， 也 可能 藉由 在 各 種 維度 中 研究 該 問題 而 得到 有利 的 線索 。 再 回到 我們 那 隻 在 三維 空間 裡 嗡嗡 飛 的 蒼蠅 ， 它 可以 在 三 個 方向 移動 ， 亦即 具有 三 個 自由度 。 然而 ， 假設 還 有 另 一 隻 蒼蠅 在 同 一 空間 裡 自由 移動 ； 它 同樣 也 有 三 個 自由度 ， 整 個 系統 就 突然 從 三維 變成 六維 的 系統 ， 具有 六 個 獨立 的 移動 方向 。 隨著 更多 的 蒼蠅 在 空間 裡 穿梭 ， 每 一 隻 都 獨立 飛行 而 不 與 他 者 相關 ， 那麼 系統 的 複雜度 及 其 維度 ， 也 隨之 增加 。 窺探 更 高 的 維度 研究 高維度 系統 的 好處 之 一 是 ， 可以 發現 一些 無法 從 簡單 場景 裡 看出 的 模式 。 例如 在 下 一 章 ， 我們 將 討論 ： 在 一 個 被 巨大 海洋 覆蓋 的 球形 行星 上 ， 洋流 不可能 在 任何 點 都 朝 同 一 個 方向 流動 （ 例如 全部 從 西流 向 東 ） 。 事實 上 一定 會 發生 的 是 ： 一定 存在 著 某些 點 ， 海水 是 靜止 不 動 的 。 雖然 這 條 規則 適用 於 二 維 曲面 ， 但 我們 只有 從 更 高維 的 系統 觀察 ， 也 就是 考慮 水 分子 在 曲面 上 所有 可能 運動 的 情況 ， 才 能 導出 這 個 規則 。 這 是 為何 我們 不斷 向 更 高 維度 推進 的 原因 ， 希望 看看 這樣 能 把 我們 帶到 什麼 方向 並 學習到 什麼 。 很 自然 的 ， 考慮 更 高 維度 的 結果 之 一 是 更 大 的 複雜度 。 例如 所謂 「 拓樸學 」 （ Topology ） 是 一 門 將 物體 依 最 廣義 的 形狀 加以 分類 的 學問 。 根據 拓樸學 ， 一 維 空間 只 有 兩 種 ： 直線 （ 或 兩 端 無 端點 的 曲線 ） 和 圓圈 （ 沒有 端點 的 封閉 曲線 ） ， 此外 再 無 其他 可能性 。 你 或許 會 說 ， 線 也 可以 是 彎彎曲曲 的