任何 方向 自由 移動 ， 只要 沒有 碰到 障礙 ， 它 就 擁有 三 個 自由度 。 現在 假設 這 隻 蒼蠅 降落到 一 座 停車場 ， 而 被 一 小 塊 新鮮 柏油 黏住 。 當 它 動彈不得 時 ， 這 隻 蒼蠅 只有 零 個 自由度 ， 實質 上 被 限制 在 單一點 上 ， 亦即 身處 於 一 個 零維 的 世界 。 但 這 小 東西 努力 不懈 ， 經過 一 番 奮鬥 後 從 柏油 掙脫 出來 ， 只 可惜 不幸 翅膀 受 了 點 傷 。 不能 飛翔 之後 ， 它 擁有 兩 個 自由度 ， 可以 在 停車場 的 地面 上 隨意 漫步 。 然後 ， 我們 的 主角 察覺到 有 掠食 者 （ 或許 是 一 隻 食蟲 的 青蛙 ） ， 因此 逃進 一 根 丟棄 在 停車場 的 生鏽 排氣管 ， 蒼蠅 此時 只有 一 個 自由度 ， 暫時 陷入 這 根 細長 管子 的 一 維 、 亦即 線狀 的 世界 。 但 維度 是 不 是 就 只 有 那麼多 ？ 一 隻 蒼蠅 在 天 上 飛 ， 被 柏油 黏住 ， 在 地 上 爬 ， 逃進 一 根 管子 裡 ── 這 是否 就 涵括 了 一切 可能性 ？ 亞里士多德 或 托勒密 應該 會 回答 「 是 」 ， 對 一 隻 沒有 高度 冒險 精神 的 蒼蠅 而言 ， 或許 也 確是 如此 ， 但是 對 當代 數學家 來 說 ， 故事 並 沒有 就此 結束 ， 因為 他們 通常 不 認為 有 什麼 明顯 理由 只 停留 在 三 個 維度 。 我們 反而 相信 ， 想要 真正 理解 幾何學 的 觀念 ， 像是 曲率 或 距離 ， 需要 從 所有 可能 的 維度 ， 從 零維 到 n維 來 理解 它 （ 其中 n 可以 是 非常 大 的 數 ） 。 如果 只 停留 在 三維 ， 我們 對 這 個 概念 的 掌握 就 不 算 完整 ， 理由 是 ： 比起 只 在 某些 特定 情境 才 適用 的 斷言 ， 如果 大自然 的 定律 或 法則 在 任何 維度 的 空間 中 都 有效 ， 那麼 它 的 理論 威力 更 大 ， 也 可能 更 基本 。 甚至 即使 你 所 要 對付 的 問題 僅 限於 二 或 三維 ， 也 可能 藉由 在 各 種 維度 中 研究 該 問題 而 得到 有利 的 線索 。 再 回到 我們 那 隻 在 三維 空間 裡 嗡嗡 飛 的 蒼蠅 ， 它 可以 在 三 個 方向 移動 ， 亦即 具有 三 個 自由度 。 然而 ， 假設 還 有 另 一 隻 蒼蠅 在 同 一 空間 裡 自由 移動 ； 它 同樣 也 有 三 個 自由度 ， 整 個 系統 就 突然 從 三維 變成 六維 的 系統 ， 具有 六 個 獨立 的 移動 方向 。 隨著 更多 的 蒼蠅 在 空間 裡 穿梭 ， 每 一 隻 都 獨立 飛行 而 不 與 他 者 相關 ， 那麼 系統 的 複雜度 及 其 維度 ， 也 隨之 增加 。 窺探 更 高 的 維度 研究 高維度 系統 的 好處 之 一 是 ， 可以 發現 一些 無法 從 簡單 場景 裡 看出 的 模式 。 例如 在 下 一 章 ， 我們 將 討論 ： 在 一 個 被 巨大 海洋 覆蓋 的 球形 行星 上 ， 洋流 不可能 在 任何 點 都 朝 同 一 個 方向 流動 （ 例如 全部 從 西流 向 東 ） 。 事實 上 一定 會 發生 的 是 ： 一定 存在 著 某些 點 ， 海水 是 靜止 不 動 的 。 雖然 這 條 規則 適用 於 二 維 曲面 ， 但 我們 只有 從 更 高維 的 系統 觀察 ， 也 就是 考慮 水 分子 在 曲面 上 所有 可能 運動 的 情況 ， 才 能 導出 這 個 規則 。 這 是 為何 我們 不斷 向 更 高 維度 推進 的 原因 ， 希望 看看 這樣 能 把 我們 帶到 什麼 方向 並 學習到 什麼 。 很 自然 的 ， 考慮 更 高 維度 的 結果 之 一 是 更 大 的 複雜度 。 例如 所謂 「 拓樸學 」 （ Topology ） 是 一 門 將 物體 依 最 廣義 的 形狀 加以 分類 的 學問 。 根據 拓樸學 ， 一 維 空間 只 有 兩 種 ： 直線 （ 或 兩 端 無 端點 的 曲線 ） 和 圓圈 （ 沒有 端點 的 封閉 曲線 ） ， 此外 再 無 其他 可能性 。 你 或許 會 說 ， 線 也 可以 是 彎彎曲曲 的 ， 或者 封閉 曲線 也 可能 是 長方形 的 ， 但 這些 是 幾何學 的 問題 ， 不 屬於 拓樸學 的 範疇 。 說到 幾何學 和 拓樸學 的 差別 ， 前者 就 像 拿 著 放大鏡 研究 地球 表面 ， 而 後者 則 像 搭上 太空船 ， 從 外太空 觀察 整 個 地球 。 選擇 何者 ， 端視 底下 的 問題 而 定 ： 你 是 堅持 要 知道 所有 細節 ， 比方說 地表 上 的 每 一 峰稜 、 起伏 和 溝壑 ？ 抑或 只要 大致 的 全貌 （ 「 一 個 巨大 圓球 」 ） 便 已 足夠 ？ 幾何學家 所 關切 的 通常 是 物體 精確 的 形狀 和 曲率 ， 而 拓樸 學家 只 在乎 整體 形貌 。 就 這 層 意義 而言 ， 拓樸學 是 一 門 整體性 的 學問 ， 這 和 數學 的 其他 領域 恰恰 成為 明顯 對比 ， 因為 後者 的 進展 ， 通常 是 藉由 把 複雜 的 物件 分割成 較 小 較 簡單 的 部分 而 達成 。 也許 你 會 問 ： 這些 和 維度 的 討論 有 何 關係 ？ 如上 所 述 ， 拓樸學 中 只 有 兩 種 基本 的 一 維 圖形 ， 但 直線 和 歪歪扭扭 的 線 是 「 相同 」 的 ， 正圓 也 和 任何 你 想像 得 出 的 「 迴圈 」 ， 不論 是 彎 的 、 多邊形 、 長方形 、 乃至於 正方形 都 是 相同 的 。 二 維 空間 同樣 也 只 有 兩 種 基本 形態 ： 不 是 球面 就 是 甜甜 圈面 。 拓樸 學家 把 任何 沒有 洞 的 二 維 曲面 都 視為 球面 ， 這 包括 常見 的 幾何 形體 ， 像是 立方體 、 角柱 、 角錐 的 表面 ， 甚至 形狀 像 西瓜 的 橢球面 。 在 此 ， 一切 的 差別 就 在於 甜甜圈 有 洞 ， 而 球面 沒有 ： 無論 你 怎樣 把 球面 扭曲 變形 （ 當然 不 包括 在 它 中間 剪 洞 ） ， 都 不可能 弄出 一 個 甜甜圈 來 ， 反之亦然 。 換句話說 ， 如果 不 改變 物體 的 拓樸 型態 ， 你 就 無法 在 它 上面 產生 新 的 洞 或是 撕裂 它 。 反過來說 ， 假如 一 個 形體 藉由 擠壓 或 拉扯 、 但非 撕裂 （ 假設 它 是 由 玩具 黏土 做成 的 ） ， 變成 另 一 個 形體 ， 拓樸 學家 就 把 這 兩 個 形體 看成 是 相同 的 。 只 有 一 個 洞 的 甜甜圈 ， 術語 稱為 「 環面 」 （ torus ） ， 但是 一般 甜甜圈 可以 有 任意 數目 的 洞 。 「 緊緻 」 （ compact ， 封閉 且 範圍 有限 ） 且 「 可 賦向 」 （ orientable ， 有 內外 兩