什麼 方向 並 學習到 什麼 。 很 自然 的 ， 考慮 更 高 維度 的 結果 之 一 是 更 大 的 複雜度 。 例如 所謂 「 拓樸學 」 （ Topology ） 是 一 門 將 物體 依 最 廣義 的 形狀 加以 分類 的 學問 。 根據 拓樸學 ， 一 維 空間 只 有 兩 種 ： 直線 （ 或 兩 端 無 端點 的 曲線 ） 和 圓圈 （ 沒有 端點 的 封閉 曲線 ） ， 此外 再 無 其他 可能性 。 你 或許 會 說 ， 線 也 可以 是 彎彎曲曲 的 ， 或者 封閉 曲線 也 可能 是 長方形 的 ， 但 這些 是 幾何學 的 問題 ， 不 屬於 拓樸學 的 範疇 。 說到 幾何學 和 拓樸學 的 差別 ， 前者 就 像 拿 著 放大鏡 研究 地球 表面 ， 而 後者 則 像 搭上 太空船 ， 從 外太空 觀察 整 個 地球 。 選擇 何者 ， 端視 底下 的 問題 而 定 ： 你 是 堅持 要 知道 所有 細節 ， 比方說 地表 上 的 每 一 峰稜 、 起伏 和 溝壑 ？ 抑或 只要 大致 的 全貌 （ 「 一 個 巨大 圓球 」 ） 便 已 足夠 ？ 幾何學家 所 關切 的 通常 是 物體 精確 的 形狀 和 曲率 ， 而 拓樸 學家 只 在乎 整體 形貌 。 就 這 層 意義 而言 ， 拓樸學 是 一 門 整體性 的 學問 ， 這 和 數學 的 其他 領域 恰恰 成為 明顯 對比 ， 因為 後者 的 進展 ， 通常 是 藉由 把 複雜 的 物件 分割成 較 小 較 簡單 的 部分 而 達成 。 也許 你 會 問 ： 這些 和 維度 的 討論 有 何 關係 ？ 如上 所 述 ， 拓樸學 中 只 有 兩 種 基本 的 一 維 圖形 ， 但 直線 和 歪歪扭扭 的 線 是 「 相同 」 的 ， 正圓 也 和 任何 你 想像 得 出 的 「 迴圈 」 ， 不論 是 彎 的 、 多邊形 、 長方形 、 乃至於 正方形 都 是 相同 的 。 二 維 空間 同樣 也 只 有 兩 種 基本 形態 ： 不 是 球面 就 是 甜甜 圈面 。 拓樸 學家 把 任何 沒有 洞 的 二 維 曲面 都 視為 球面 ， 這 包括 常見 的 幾何 形體 ， 像是 立方體 、 角柱 、 角錐 的 表面 ， 甚至 形狀 像 西瓜 的 橢球面 。 在 此 ， 一切 的 差別 就 在於 甜甜圈 有 洞 ， 而 球面 沒有 ： 無論 你 怎樣 把 球面 扭曲 變形 （ 當然 不 包括 在 它 中間 剪 洞 ） ， 都 不可能 弄出 一 個 甜甜圈 來 ， 反之亦然 。 換句話說 ， 如果 不 改變 物體 的 拓樸 型態 ， 你 就 無法 在 它 上面 產生 新 的 洞 或是 撕裂 它 。 反過來說 ， 假如 一 個 形體 藉由 擠壓 或 拉扯 、 但非 撕裂 （ 假設 它 是 由 玩具 黏土 做成 的 ） ， 變成 另 一 個 形體 ， 拓樸 學家 就 把 這 兩 個 形體 看成 是 相同 的 。 只 有 一 個 洞 的 甜甜圈 ， 術語 稱為 「 環面 」 （ torus ） ， 但是 一般 甜甜圈 可以 有 任意 數目 的 洞 。 「 緊緻 」 （ compact ， 封閉 且 範圍 有限 ） 且 「 可 賦向 」 （ orientable ， 有 內外 兩 面 ） 的 二 維 曲面 可以 依 洞 的 數目 來 分類 ， 這 個 數目 稱為 「 虧格 」 （ genus ） 。 外觀 迥異 的 二維 物體 ， 如果 虧格 相同 ， 在 拓樸 上 被 視為 是 相同 的 。 先前 提到 二維 形體 只有 球面 與 洞數 不同 的 甜甜 圈面 兩 大 類 ， 這 只有 在 可 賦向 曲面 的 情況 才 成立 ， 本 書 所 討論 的 通常 都 是 可 賦 向 曲面 。 比方說 ， 海灘球 有 兩 個 面 ， 即 裡面 和 外面 ， 輪胎 的 內胎 也 有 兩 個 面 。 然而 ， 對於 比較 複雜 的 情況 ， 例如 單面 或 「 不可 賦向 」 的 曲面 如 「 克萊因瓶 」 （ Klein bottle ） 和 「 莫比烏斯帶 」 （ Möbius strip ） ， 上述 說法 並 不 成立 。 如果 是 三 維 以上 ， 可能 的 形體數 就 會 急遽 增加 。 當 考慮 高維 空間 時 ， 必須 容許 我們 往 難以 想像 的 方向 移動 。 在 此 所 指 的 可 不 是 介於 向 北 和 向 西 之間 的 西北方 ， 或是 「 北西 北 」 的 這 類 方向 ， 而是 完全 跑出 三維 網格 之外 ， 這 個 方向 落在 一 個 我們 還 沒 畫出 的 坐標系 裡面 。 愛因斯坦 的 四維 時空 理論 描繪 高維 空間 的 早期 重大 突破 之 一 來自 笛卡兒 （ René Descartes ） 。 這 位 十七世紀 的 法國 鴻儒 身兼 數學家 、 哲學家 、 科學家 和 作家 等 多重 身分 ， 但 對 我 而言 ， 他 在 幾何學 方面 的 成就 ， 意義 特別 重大 。 笛卡兒 的 貢獻 之 一 ， 是 教導 我們 ： 如果 用 坐標 取代 用 圖形 來 進行 思考 ， 將 有 非常 非常 大 的 效用 。 他 所 發明 的 坐標系 現今 稱為 笛卡兒 坐標 或 直角 坐標 ， 統合 了 代數 和 幾何 。 狹義 來 說 ， 笛卡兒 指出 一旦 定出 交於 一點 且 彼此 垂直 的 x , y , z 軸 ， 三維 空間 中 的 任一點 只 需要 三 個 數字 （ x , y , z 坐標 ） 就 可以 明確 標定 。 但 他 的 貢獻 遠遠 不止於此 ， 他 這 神妙 一 筆 ， 大幅 拓展 了 幾何學 的 視界 。 因為 有 了 坐標系 之後 ， 我們 就 可以 用 代數 方程式 來 描述 不易 形象化 的 複雜 高維 幾何 形體 。 使用 這 個 方法 ， 你 可以 思考 任何 想要 的 維度 ， 不 只 是 （ x , y , z ） ， 還可以 是 （ a , b , c , d , e , f ） 或是 （ j , k , l , m , n , o , p , q , r , s ） 。 所謂 空間 的 維數 ， 即 決定 此 空間 中 任 一點 的 位置 時 所 需 的 坐標 數目 。 藉由 這 種 系統 ， 我們 可以 思考 任何 維數 的 高維 空間 ， 進行 與 其 相關 的 各 種 計算 ， 不再 擔心 如何 描繪 這些 空間 的 問題 。 兩 個 世紀 之後 ， 德國 大 數學家 黎曼 （ Georg Friedrich Bernard Riemann ） 以 此 為 出發點 ， 大幅 拓展 了 幾何學 的 領域 。 黎曼 在 1850年代 研究 彎曲 空間 的 幾何 （ 稱為 「 非 歐 幾何 」 * ， 這 個 主題 將 在 下 一 章 繼續 討論 ） ， 瞭解到 這些 空間 並 不 需要 受限於 維數 。 他 展示 了 如何 在 這些 空間 上 ， 精確 計算 距離 、 曲率 和 其他 性質 。 1854年 ， 黎曼 在 他 的 就職 演講 裡 ， 講述 了 日後 被 稱為 黎曼 幾何 的 幾何 原理 ， 並且 猜度 了 宇宙 本身 的 維度性 和 幾何 性質 。 當時 年 僅 二十多 歲 的 黎曼 ， 也 正在