時空 」 __UNDEF__ （ spacetime ） 的 新 幾何 構造 。 在 這 個 出人意料 的 轉折 裡 ， 時間 本身 被 視為 第四 維 ， 而 數十 年 前 黎曼 就 已經 將 它 結合進 他 優雅 的 方程式 裡 。 有趣 的 是 ， 英國 作家 威爾斯 （ H.G. Wells ） 在 此 之前 十 年 寫下 的 小說 《 時間 機器 》 （ The Time Machine ） ， 即已 預見 相同 的 結果 。 誠如 小說 主角 「 時間 旅人 」 所 解釋 ： 「 維度 其實 有 四 個 ， 其中 三 個 是 我們 稱為 空間 的 三 個 平面 ， 第四 個 是 時間 。 然而 ， 人們 卻 總 傾向於 要 把 前 三 維 和 第四 維強 加以 虛假 的 區分 。 」 4閔可夫斯基 在 1908年 的 一 場 演講 裡 ， 說 了 幾乎 相同 的 話 ， 差別 只 在於 ， 他 用 數學 來 支持 這 個 看似 荒唐 的 主張 ： 「 如此一來 ， 單獨 的 空間 和 單獨 的 時間 註定 要 化為 幽影 ， 唯有 兩 者 的 結合 方 能 保存 一 種 獨立 的 實在性 。 」 5 將 這 兩 種 概念 加以 結合 的 理論 基礎 ， 在於 物體 的 運動 不僅 穿越 空間 ， 而且 也 穿越 時間 。 所以 若要 描述 四維 時空 __UNDEF__ （ x , y , z , t ） __UNDEF__ 中 的 事件 ， 我們 需要 四 個 坐標 ： 三 個 空間 坐標 和 一 個 時間 坐標 。 雖然 這 想法 看似 有點 艱深 ， 但 其實 可以 用 極 平常 的 形式 來 表達 。 假設 你 和 某人 約好 在 購物 中心 見面 ， 你 會 先 記下 那 棟 建築物 的 位置 ， 比方說 第一 街 和 第二大道 的 交叉口 ， 然後 約好 在 三樓 見面 。 如此 就 定出 了 x , y , z 坐標 。 唯一 剩下 的 就 是 敲定 時間 ， 也 就 是 第四 坐標 。 一旦 指明 這 四 項 資訊 ， 除非 發生 不可 預期 的 意外 ， 否則 你 的 約會 就 確定 了 。 但 如果 要 採用 愛因斯坦 的 說法 來 表示 ， 你 不能 把 這 次 約會 看成 是 先 決定 地點 ， 再 決定 時間 。 你們 真正 決定 的 ， 是 這 個 約會 事件 在 時空 中 的 位置 。 所以 在 二十世紀 初 ， 我們 的 空間 概念 從 自古以來 一直 撫育 人類 的 三維 安適 小窩 ， 一舉 躍升為 玄奧 隱晦 的 四維 時空 。 此 一 時空 概念 構成 了 愛因斯坦 隨即 奠立 的 重力 理論 ， 也 就 是 廣義 相對論 的 基礎 。 但 就 像 我們 問 過 的 ： 事情 就 到 此 為止 嗎 ？ 是否 一切 就 停 在 四維 ， 還是 我們 的 時空 觀念 可以 再 繼續 成長 ？ 1919年 ， 一 個 可能 的 答案 意外 的 以 論文 初稿 的 形式 送給 愛因斯坦 審閱 ， 論文 作者 是 當時 名不見經傳 的 德國 數學家 卡魯札 （ Theodor Kaluza ） 。 卡魯札 的 五維 時空 愛因斯坦 的 理論 要 用到 十 個 數字 （ 亦即 十 個 「 場 」 ） 來 準確 描述 重力 在 四維 時空 中 的 運作 。 最 簡潔 的 表示法 是 把 這 十 個 數 排列成 一 個 44 __UNDEF__ 的 矩陣 ， 術語 稱 之 為 「 度量 張量 」 __UNDEF__ （ metric tensor ） 。 這 張 正方形 的 數字表 ， 你 可以 把 它 看成 高維度 的 尺規 。 在 此 ， 度量 張量 本來 共有 16 個 分量 ， 但 因為 對稱性 的 原因 ， 只有 10 個 是 獨立 的 。 （ 其中 矩陣 對角線 上 有 4 個 分量 ， 對角線 兩 側 各 有 6 個 分量 ， 但是 沿 對角線 對稱 的 分量 必須 相等 。 ） 有 六 個數 重複 是 因為 重力 和 其他 基本 作用力 一樣 ， 本質 上 是 對稱 的 。 在 他 的 論文 裡 ， 卡魯札 基本 上 採納 了 愛因斯坦 的 廣義 相對論 ， 並 再 加入 一 個 維度 ， 將 44 的 矩陣 擴充為 55 。 藉由 把 時空 擴充到 第五 維 ， 卡魯札 可以 把 當時 已 知 的 兩 種 作用力 — — 重力 和 電磁力 — — 結合成 單一 而 統一 的 作用力 。 對於 身處 於 卡魯札 所 構想 的 五維 世界 的 觀察 者 而言 ， 這 兩 種 力 其實 是 同 一 個 作用力 ， 這 正 是 我們 稱 之為 「 統一 」 的 原因 。 但 在 四維 空間 裡 ， 這 兩 種 作用力 無法 合 在一起 ， 它們 看起來 像是 完全 獨立 的 。 你 可以 說 ， 造成 這 情形 的 原因 只是 因為 我們 不能 把 這 兩 種 力 放進 同 一 個 44 矩陣 裡 。 然而 ， 多 加入 的 一 個 維度 給予 它們 充分 的 餘裕 ， 得以 並 存在 同 一 個 矩陣 中 ， 因而 成為 一 個 包容 更 廣 的 作用力 的 一 部分 。 這麼 說 或許 會 惹來 非議 ： 但 我 相信 ， 針對 一直 以 低維 架構 來 觀察 的 現象 ， 只 有 數學家 能 果敢 的 藉由 高維 空間 來 提供 特殊 的 洞察力 。 我 會 這麼 說 ， 是 因為 數學家 總是 在 處理 更多 的 維度 。 我們 對 這 個 觀念 習慣 得 可以 不 假 思索 ， 甚至 可以 在 睡夢 中 操作 這些 多出來 的 維度 ， 絲毫 不 受 干擾 。 然而 ， 即使 我 認為 唯有 數學家 才 能 達成 這 種 突破 ， 但 在 卡魯札 這 個 特別 的 例子 裡 ， 這 位 數學家 的 工作 卻 是 以 物理學家 的 研究 、 也 就 是 愛因斯坦 的 成果 為 基礎 。 （ 不過 接下來 ， 另 一 位 物理學家 克萊因 的 研究 ， 則 又 建立 在 數學家 卡魯札 的 基礎 上 ； 這 段 發展 下面 很 快 會 交代 。 ） 這 就 是 為甚麼 我 喜歡 處身 在 數學 和 物理 這 兩 個 領域 的 交界 地帶 ， 因為 在 此 會 獲得 許多 有趣 的 相互 啟發 。 我 從 1970年代 就 在 這 片 肥沃 的 區域 徜徉 ， 也 因此 獲益 於 許多 引人入勝 的 發展 。 再 回到 卡魯札 極 具 啟發性 的 想法 。 有 個 令 當時 的 人 困惑 的 問題 ， 迄 今 依然 存在 ， 這 問題 無疑 是 卡魯札 努力 想 解決 的 ： 如果 真的 有 第五 維 ， 一 個 我們 熟悉 的 四維 世界 上 任何 一點 都 可以 在 其 上 移動 的 全新 方向 ， 為什麼 從來 沒 人 察覺到 呢 ？ 最 顯然 的 解釋 是 ， 這 個 維度 極其 微小 。 但 它 會 在 哪兒 呢 ？ 一 個 體會 第五 維 的 方法 ， 是 把 我們 的 四維 宇宙 假想成 一 條 無止盡 往 兩 端 延伸 的 直線 。 在 此 的 想法 是 ， 三 個 空間 維度 要不是 極其 廣闊 ， 就是 無限 龐大 。 我們 同樣 也 假定 時間 可以 對應到 一 條 無窮 的 直線 （ 這 或許 是 可以 質疑 的 假定 ） 。 不管 怎樣 ， 這 條 假想 的