身處 在 大自然 之中 ， 所 顯現出來 的 優雅 。 畢氏 定理 無疑 是 幾何學 的 基石 ； 但 除了 定理 本身 ， 同等 重要 的 是 它 被 「 證明 為 真 」 的 事實 ， 而且 應該 是 數學 中 第一 個 見諸 記載 的 證明 。 早 在 畢達哥拉斯 出生 之前 ， 埃及 和 巴比倫 的 數學家 便 已經 使用 直角 三角形 的 三 邊 關係 ， 但是 他們 都 不 曾 「 證明 」 這 個 想法 ， 而且 似乎 也 不 曾 考慮 過 要 去 證明 這 種 抽象 概念 。 根據 數學家 貝爾 （ E .T .
 
Bell ） 的 說法 ， 這 才 是 畢達哥拉斯 最 偉大 的 貢獻 ： 在 他 之前 ， 幾何 大致 只 是 一些 經驗 法則 的 匯集 ， 規則 之間 並 沒有 清楚 表明 任何 其中 的 相互 關聯 。 現在 大家 已 理所當然 把 證明 視為 是 數學 的 核心 精神 所在 ， 我們 很 難 想像 在 數學 推理 出現 前 必然 會 經歷 的 原始 狀態 。 2 或許 畢達哥拉斯 確實 給出 過 證明 ， 但 你 也許 已 注意到 ， 我 說 的 是 定理 「 相傳 」 出自 於 他 ， 彷彿 對 定理 的 著作權 有所 懷疑 。 確實 如此 。 畢達哥拉斯 是 一 個 教派 領袖 般 的 人物 ， 許多 追隨 他 的 數學 愛好 者 （ 稱為 畢氏 學派 ） 的 貢獻 ， 後來 都 被 歸到 他 的 名下 。 所以 畢氏 定理 的 證明 也 有 可能 是 出自 在 他 之後 一 兩 代 的 傳人 。 真相 我們 大概 永遠 不能 確知 ： 畢達哥拉斯 活 在 西元 前 六世紀 ， 幾乎 沒有 留下 多少 書面 記錄 （ 甚至 可 說 完全 沒有 ） 。 幸運 的 是 ， 歐幾里得 的 情形 很 不 一樣 。 歐幾里得 是 史 上 最 知名 的 幾何學家 之 一 ， 幾何 之所以 能 成為 一 門 精確 、 嚴格 的 學術 領域 ， 多半 得 歸功於 他 。 歐幾里得 迥異 於 畢達哥拉斯 ， 身後 留下 了 大量 文獻 ， 其中 最 傑出 的 是 約 成書 於 西元 前 300年 的 《 原本 》 。 這 是 一 部 十三 卷 的 著作 ， 其中 八 卷 專論 平面 和 立體 幾何 。 《 原本 》 被 譽為 有史以來 最 具 影響力 的 教科書 之 一 ， 「 一 部 優美 的 著作 ， 其 影響力 堪 與 聖經 比擬 。 」 物理學家 兼 編劇家 曼羅迪諾 （ Leonard Mlodinow ） 在 《 歐幾里得 之 窗 》 （ Euclid ’s Window ） 一 書 中 如此 形容 。 3 歐幾里得 在 這 部 巨著 裡 所 奠立 的 ， 不只 是 幾何學 ， 而是 一切 數學 的 基礎 ， 它 嚴格 遵守 了 一 種 現今 稱為 歐幾里得式 的 推理 方法 ： 以 明確 定義 的 辭彙 和 一 組 明白 陳述 的 「 公設 」 （ 英文 是 axiom 或 postulate ， 這 兩 個 詞 是 同義 的 ） 為 起點 ， 然後 運用 清楚 的 邏輯 來 證明 一條條 定理 ， 接著 再 用 這些 定理 來 證明 其他 命題 。 歐幾里 得以 此 方法 ， 總共 證明 了 四百多 條 定理 ， 基本 上 涵括 了 當時 所有 的 幾何 知識 。 史丹佛 大學 數學家 奧瑟曼 （ Robert Osserman ） __UNDEF__ 如此 解釋 歐幾里得 方法 的 永恆 魅力 ： 「 最 重要 的 是 確定感 。 在 一 個 充滿 非理性 信仰 和 無稽 臆測 的 世界 裡 ， 《 原本 》 裡 的 陳述 一一 被 絲毫 無疑 的 證明 為 真。 」 米萊 （ Edna St . Vincent Millay ） 在 她 的 詩作 〈 只有 歐 幾里 得 見 過 赤裸之 美 〉 （ Euclid Alone Has Looked on Beauty Bare ） 也 表達 了 類似 的 激賞 。 4 從 微積分 到 微分 幾何 就 本 書 所 討論 的 發展 脈絡 而言 ， 下 一 個 重大 貢獻 來自於 笛卡兒 （ 需要 說明 的 是 ， 在 此 略 而 未 提 的 許多 大 數學家 ， 並 不 表示 他們 的 貢獻 並 不 重要 ） 。 正 如 上 一 章 所 述 ， 笛卡兒 導入 了 坐標系 ， 使得 數學家 能夠 思考 任何 維度 的 空間 ， 並且 用 代數 來 解決 幾何 問題 ， 從而 大幅 擴展 了 幾何 的 視野 。 在 他 改寫 這 個 領域 之前 ， 幾何學 差不多 就 侷限 在 直線 、 圓 和 圓錐 曲線 （ conic sections ） 的 討論 ， 圓錐 曲線 就 是 以 不同 角度 切開 一 個 無限 長 的 圓錐 時 所 得到 的 曲線 ， 如 橢圓 、 拋物線 、 雙曲線 。 但 一旦 有 了 坐標系 ， 一些 本來 不 知道 該 如何 描繪 的 複雜 圖形 ， 便 立刻 可以 藉由 方程式 來 描述 。 以 xn + yn = 1 為 例 ， 使用 笛卡兒 坐標 ， 我們 可以 解出 這 個 方程式 ， 然後 再 畫出 其 曲線 。 在 坐標系 出現 之前 ， 我們 不 知 如何 畫 這樣 的 圖形 。 因此 在 以前 遇到 死路 的 地方 ， 笛卡兒 為 我們 指引 了 前進 的 方向 。 大約 在 笛卡兒 分享 解析 幾何 的 概念 五十 年 之後 ， 牛頓 （ Isaac Newton ） 和 萊布尼茲 （ Gottfried Leibniz ） 發明 了 微積分 ， 把 這 條 道路 拓展 得 更 寬廣 。 其後 數十 年 到 數百 年 ， 歐拉 （ Leonhard Euler ） 、 拉格朗日 （ Joseph Lagrange ） 、 蒙日 （ Gaspard Monge ） 等 數學家 將 微積分 工具 結合進 幾何裡 ， 而 其中 最 重要 的 大概 要 屬 高斯 （ Carl Friedrich Gauss ） 的 貢獻 了 ， 經由 他 的 指引 ， 「 微分 幾何 」 （ differential geometry ） __UNDEF__ 這 個 領域 終於 在 1820年代 成熟 。 微分 幾何 把 曲面 擺到 笛卡兒 坐標系 中 ， 因而 能 使用 微分 的 技巧 加以 詳細 分析 （ 微分 是 找出 平滑 曲線 斜率 的 技巧 ） 。 微分 幾何 的 發展 自 高斯 的 時代 起 即 不斷 演進 ， 誠然 是 一 項 重大 成就 。 有 了 微積分 工具 之後 ， 幾何學家 可以 用 遠 較 以往 清晰 的 方式 來 刻劃 曲線 和 曲面 的 性質 。 幾何學家 透過 微分 來 獲取 此 類 資訊 ， 其中 微分 就 是 求取 導數 （ derivative ） ， 也 就 是 測量 函數 如何 隨著 輸入值 而 變化 的 情形 。 我們 可以 把 函數 想成 是 一 種 算則 或 公式 ， 它 收到 一 個 輸入 的 數 ， 相應 的 就 產生 一 個 輸出 的 值 ： 以 y = x2 為 例 ， 給 它 x值 ， 就 可以 產生 y值 ， 也 就 是 x值 的 平方 。 函數 具有 一致 的 性質 ， 如果 你 餵給 它 相同 的 輸入值 ， 就 會 得到 相同 的 輸出值 。 譬如 在 本 例 中 ， 輸入 2 ， 得到 的 必定 是 4 。 而 導數 則 是 用來 描述 當 輸入值 變化 時 ， 輸出值 如何 變化 。 導數值 反映 了 當 輸入值 發生 微小 改變 時 ， 輸出值 變化 的 敏感度 。 導數 並 不 只 是 某 種 抽象 的 概念 ， 它 是 可 經由 計算 得到 的 真實 的 數 ， 能夠 明確 告訴 我們 曲線 或是 曲面 在 某 一 點