龐卡赫 猜想 」 （ 詳見 本 章 稍後 ） 而 引起 眾多 關注 。 然而 我 要 強調 ， 幾何 分析 的 應用 範圍 非常 廣泛 ， 這 類 問題 只 是 幾何 分析 的 其中 一 小 部分 。 最 小 曲面 俗話說 ， 一旦 你 手 上 拿 著 個 大 榔頭 ， 任何 問題 看起來 都 像 根 釘子 。 關鍵 在於 ， 當 掌握 了 某 種 研究 利器 之後 ， 就 要 找出 它 最 適合 處理 的 問題 。 幾何 分析 能 幫助 我們 解決 的 重要 問題 之 一 ， 是 牽涉到 「 最 小 曲面 」 （ minimal surface ） 的 問題 。 而 如果 它 是 釘子 ， 那麼 幾何 分析 大概 就 是 最 完美 的 榔頭 了 。 我們 每 個 人 應該 都 見 過 最 小 曲面 。 把 吹 泡泡 玩具 的 塑膠環 浸 過 肥皂 泡液 之後 ， 所 形成 的 肥皂膜 會 因為 表面 張力 而 變 得 非常 平滑 ， 此時 對於 這 個 塑膠環 來 說 ， 肥皂膜 所 覆蓋 的 面積 是 最 小 的 。 用 更 數學 的 說法 ， 最 小 曲面 是 以 某 一 給定 封閉 迴圈 為 邊界 ， 所 能 形成 的 面積 最 小 的 曲面 。 「 最小化 」 （ minimization ） 作為 幾何 和 物理 的 基本 概念 已 有 數百 年 的 歷史 。 例如 十七世紀 時 ， 法國 數學家 費馬 （ Pierre de Fermat ） 論證 ，光 在 通過 不同 介質 時 ， 必定 會 採取 所 耗 能量 最少 （ 即 「 最 小 作用量 」 ） 的 路徑 ， 這 是 最早 幾 條 以 最 小化 來 表述 的 重要 物理學 原理 之 一 。 「 自然界 中 經常 可以 看 得 到 這 個 現象 ， 在 所有 可能 的 情況 中 ， 真正 發生 的 都 是 消耗 最少 能量 的 。 」 史丹福 大學 的 數學家 賽門 （ Leon Simon ） 如此 說 。 3 最 小 面積 的 形體 ， 對應到 最少 能量 狀態 ； 如果 其他 條件 相同 的話 ， 這 通常 會 是 最 可能 的 狀態 。 擁有 最 小 面積 的 曲面 ， 其 曲面 張力 為 零 ， 換句話說 ， 它 的 均曲率 （ mean curvature ） 為 零 。 這 就 是 為什麼 ， 液體 表面 與 肥皂膜 大多 看起來 是 平滑 緊繃 的 原因 。 談到 最 小 曲面 時 ， 有 個 常 造成 混淆 的 因素 ， 這 個 名詞 數百 年 來 不 曾 更換 過 ， 然而 在 這 段 期間 ， 數學 已經 發展 得 愈來愈 複雜 而 精細 。 於是 ， 有 一 大 類 相關 的 曲面 都 被 稱為 最 小 曲面 ， 但 它們 的 面積 並 不 必然 是 真正 最 小 的 。 這 類 曲面 中 ， 如果 是 同 一 邊界 所 圍成 的 各 個 曲面 中 面積 最 小 的 ， 我們 或許 可以 稱 之為 真 最 小 曲面 或 「 基態 」 （ ground state ） ； 但 其中 還 包含 為數 更多 的 所謂 穩定 曲面 （ stationary surface ） ， 它們 在 小 範圍 內 （ 局部 ） 面積 是 最 小 的 ， 但 整體 （ 大域 ） 來 說 面積 並 不 是 真正 最 小 的 。 不論 是 數學家 和 工程師 ， 對於 具有 零曲面 張力 （ 零均 曲率 ） 的 曲面 ， 都 有 極 大 的 研究 興趣 。 我們 傾向於 把 最 小 曲面 想成 一 個 家族 ， 成員 彼此 類似 ， 然而 儘管 每 個 最 小 曲面 都 很 吸引人 ， 但 只有 一 個 是 面積 真正 最 小 的 。 相對於 「 在 二 維 以上 的 空間 求 最 小 面積 」 的 曲面 問題 ， 其 簡化 的 一 維 版本 則 是 找出 最 短 的 路徑 。 兩 點 之間 的 最 短 路徑 ， 在 平面 上 是 直線 ， 在 球面 上 則 是 連接 兩 點 的 大 圓圓弧 。 最 短 路徑 有時 稱為 「 測 地線 」 （ geodesic ） ， 但是 讓 情況 更加 混淆 的 是 ， 測 地線 有時 也 包括 未必 是 最 短 的 、 但 對 幾何學家 和 物理學家 仍 有 相當 重要性 的 路徑 。 如果 你 在 球面 的 大 圓 上 取 兩 點 ， 除非 這 兩 點 是 像 南北極點 那樣 隔 著 直徑 相對 ， 否則 連接 兩 點 的 圓弧 必定 一 長 一 短 。 這 兩 條 路徑 （ 圓弧 ） 都 是 測 地線 ， 但 只 有 短 圓弧 的 長度 是 這 兩 點 間 的 最 短 距離 。 較 長 的 另 一 條 雖然 也 是 最小化 的 路徑 ， 但 它 只 是 局部 的 最小化 ， 也就是說 ， 在 這 條 線 的 局部 上 選取 任何 可能 路徑 ， 只有 它 是 最 短 的 。 但 它 並 不 是 一切 可能 路徑 中 最 短 的 ， 因為 短 圓弧 的 路徑 更 短 。 像 橢面 的 情況 就 還要 更 複雜 ， 因為 在 橢面 上 有 許多 測 地線 ， 並 不 是 所有 可能 路徑 中 最 短 的 。 要 找出 最 短 距離 ， 必須 用到 微分 方程 。 這 就 像是 要 找出 最小值 必須 先 檢視 導數 為 零 的 點 一樣 。 最 小 面積 的 曲面 滿足 某 種 特定 的 微分 方程 ， 這 個 方程 表示 該 曲面 的 均曲率 處處 為 零 的 事實 。 一旦 找出 這 個 特定 的 偏微分 方程 ， 你 就 獲得 許多 著手 解題 的 資訊 ， 因為 長期 以來 ， 數學家 已 相當 瞭解 這些 方程 了 。 「 但 這 並 不 像是 去 洗劫 一 個 整頓 完好 的 場所 ， 直接 把 東西 從 架 上 拿下來 就 行 了 。 它 比較 像是 雙向 車道 ， 因為 很多 關於 偏微分 方程 的 知識 ， 是 經由 幾何學 發展 得來 的 。 」 格林恩 說道 。 4 要 明白 透過 幾何 分析 和 最 小 曲面 的 結合 可以 學到 什麼 ， 且 讓 我們 再 繼續 肥皂膜 的 話題 。 十九世紀 的 時候 ， 比利時 物理學家 普拉托 （ Joseph Plateau ） 做 了 一 系列 這 方面 的 經典 實驗 ， 他 把 彎成 各 種 形狀 的 鐵絲 浸到 肥皂液 裡 ， 觀察 其 結果 。 普拉托 的 結論 是 肥皂膜 永遠 是 最 小 曲面 。 他 更 進一步 推測 ， 對於 任何 給定 的 封閉 曲線 ， 永遠 都 可 產生 一 個 以 此 為 邊界 的 最 小 曲面 。 有時候 這 種 曲面 只 有 一 個 ， 因此 是 唯一 的 。 但 有時 面積 最小化 的 曲面 不只 一 個 ， 而且 不 知道 總共 有 多少 個 這樣 的 最 小 曲面 。 普拉托 的 這 個 猜想 稱為 「 普拉托 問題 」 ， 直到 1930年 才 由 傑西 ． 道格拉斯 （ Jesse Douglas ） 和 拉多 （ Tibor Radó ） 各自 獨立 證明 。 道格拉斯 還 因此 於 1936年 得到 第一 屆 的 費爾茲獎 。 我 與 密克斯 的 最 小 曲面 研究 最 小 曲面 不見得 都 像 肥皂膜 那麼 簡單