應用 於 拓樸學 的 問題 。 而且 它 也 顯示 ： 用 幾何學 來 解決 拓樸 和 物理 問題 的 想法 是 可行 的 。 迄 今 為止 ， 我們 已經 談 了 不少 拓樸學 ， 對 物理 則 著墨 不 多 。 接下來 我們 就 來 談談 ， 幾何 分析 是否 也 能 對 物理 有所 貢獻 。 和 孫理察 證明 正 質量 猜想 1973年 ， 在 史丹福 大學 舉辦 的 國際 幾何學 會議 上 ， 一 個 來自 相對論 的 問題 吸引 了 我 的 注意 。 雖然 過 了 好些 年 我 才 著手 解答 ， 但 這 個 問題 正 可以 說明 把 幾何 分析 用於 物理 上 會 有 多 大 的 威力 。 在 會議 上 ， 芝加哥 大學 的 物理學家 葛洛克 （ Robert Geroch ） 談到 一 個 懸宕 已 久 的 謎 ， 稱為 「 正 質量 猜想 」 或 「 正 能量 猜想 」 。 這 個 猜想 是 說 ： 在 任何 孤立 的 重力 系統 裡 ， 總質量 或 能量 必定 是 正 的 。 （ 在 此 ， 質量 和 能量 這 兩 個 術語 是 互通 的 ， 因為 正 如 愛因斯坦 著名 的 方程式 E = mc2 所 示 ， 這 兩 個 概念 是 等價 的 。 ） 因為 宇宙 可以 被 視為 孤立 系統 ， 所以 正 質量 猜想 也 適用 於 整 個 宇宙 。 由於 這 個 問題 關乎 時空 的 穩定性 ， 以及 相對論 本身 的 一致性 ； 所以 多 年 以來 ， 每當 舉辦 廣義 相對論 的 大型 學術 會議 時 ， 都 會 有 專門 的 議程 討論 這 個 重要 問題 。 簡言之 ， 除非 時空 的 總質量 為 正值 ， 否則 時空 不可能 是 穩定 的 。 在 史丹福 的 會議 上 ， 葛洛克 發出 戰帖 ， 邀請 幾何學家 來 攻克 這 個 物理學家 在 當時 仍 無法 解決 的 問題 。 葛洛克 之所以 向 幾何學家 尋求 奧援 ， 不僅 是 因為 幾何學 和 重力 在 理論 基礎 上 有 著 緊密 的 關聯 ， 而且 也 因為 質量 密度 為 正 ， 相當於 空間 中 每 一 點 的 總曲率 平均 * 必定 是 正值 。 因此 物理 上 的 正 質量 猜想 ， 可以 轉化成 一 個 幾何 問題 。 葛洛克 很 渴望 得到 某 種 解答 。 他 最近 回憶 說 ： 「 我們 很 難 相信 這 個 猜想 是 錯 的 ， 但 要 證明 它 成立 也 同樣 困難 。 」 他 還 說 ： 像 這樣 的 事情 ， 我們 不能 依賴 直覺 ， 「 因為 直覺 未必 會 正確 地 引導 我們 」 。 6 他 提出 的 挑戰 ， 就此 一直 烙印 在 我 腦海 裡 ， 數 年 之後 ， 當 我 和 以前 的 研究生 、 現任 史丹福 大學 教授 的 孫理察 （ Richard Schoen ） 合作 研究 另 一 個 問題 時 ， 突然 心血來潮 ， 想到 我們 剛 發展出來 的 幾何 分析 技巧 ， 或許 可以 用到 正 質量 猜想 上 。 我們 所 做 的 第一 件 事 ， 是 依照 處理 大型 問題 時 的 慣用 策略 ， 把 問題 切割成 數 個 較 小 的 問題 ， 以便 各 個 擊破 。 因為 正 質量 猜想 對 幾何學家 來 說 並 不 容易 理解 ， 更 別 說 要 去 證明 了 ， 所以 在 對付 整 個 猜想 之前 ， 我們 先 試 著 證明 幾 個 特例 。 更何況 ， 從 純 幾何 的 觀點 來 看 ， 我們 並 不 相信 這 個 猜想 可以 成立 ， 因為 它 所 斷言 的 結論 似乎 太 強 了 。 並 不 是 只有 我們 如此 想 。 紐約 大學 暨 法國 高等 科學 研究院 （ IHÉS ） 的 著名 幾何學家 格羅莫夫 （ Misha Gromov ） 告訴 我們 ， 根據 他 的 幾何 直覺 ， 正 質量 猜想 的 一般 情形 明顯 是 錯 的 ； 其他 許多 幾何學家 也 同意 這 個 說法 。 但 另一方面 ， 大多數 物理學家 卻 都 認為 它 是 對 的 ， 年復一年 ， 他們 在 學術 會議 上 總是 這麼 說 。 單單 這 一 點 就 足以 激勵 我們 去 仔細 探究 ， 看看 它 能否 成立 。 我們 採取 的 證明 策略 ， 和 最 小 曲面 有關 。 這 還是 第一 次 有 人 採用 這 個 策略 來 解決 正 質量 猜想 ， 或許 是 因為 最 小 曲面 和 這 個 問題 沒有 明顯 的 關聯 。 然而 ， 孫 理察 和 我 覺得 這 條 路徑 或可 有所 收穫 。 解題 就 像 做 工程 一樣 ， 需要 恰當 的 工具 （ 然而 ， 當 證明 完成 後 ， 我們 往往 能 發現 不止 一 種 方法 可以 得到 解答 ） 。 倘若 局部 物質 密度 真的 如 廣義 相對論 所 假設 的 是 正 的 ， 那麼 整體 空間 的 幾何 性質 必定 要 與 此 一致 。 我們 認為 最 小 曲面 或許 提供 了 最佳 方式 ， 去 判定 局部 物質 密度 如何 影響到 大域 幾何 性質 。 證明 的 論點 並 不 容易 說清楚 ， 主要 是 因為 用於 描述 物理 與 幾何 關係 的 愛因斯坦場 方程 是 複雜 、 非線性 的 ， 而且 並 不 直觀 。 基本 上 ， 我們 一 開始 先 假設 其中 某 一 特定 空間 的 總質量 「 不 是 」 正 的 ， 接著 我們 論證 ， 在 這樣 的 空間 中 可以 構造出 一 個 「 面積 極小化 」 （ area-minimizing ） 的 曲面 ， 由於 它 所 在 的 空間 類似 我們 的 宇宙 ， 觀測到 的 物質 密度 是 正 的 ， 因此 這 個 最 小 曲面 的 曲率 平均 是 正 的 。 但 運用 拓樸 的 論證 ， 我們 卻 能 證明 這 個 曲面 的 曲率 平均 是 「 零 」 。 從 這 個 矛盾 的 結果 可以 知道 ， 原來 的 前提 是 錯誤 的 。 也就是說 ， 如果 廣義 相對論 的 假設 是 正確 的話 ， 那麼 正 物質 密度 就 蘊含 了 正總 質量 。 上述 說法 乍看 之下 像是 循環 論證 ， 但 其實不然 。 在 某 一 特定 空間 （ 例如 我們 的 宇宙 ） 裡 ， 即使 總質量 不 是 正 的 ， 它 的 物質 密度 仍然 可能 是 正 的 。 這 是 因為 總質量 的 來源 有 兩 方面 ： 物質 和 重力 。 即使 來自於 物質 的 貢獻 是 正 的 （ 一如 我們 論證 開始 的 假設 ） ， 還是 可能 因為 來自 重力 的 貢獻 是 負 的 ， 而 使得 總質量 是 負 的 。 讓 我們 換 一 種 說法 ： 從 總質量 不為 正 的 前提 出發 ， 我們 證明 可以 找到 一 個 面積 極小化 的 「 肥皂膜 」 ， 然而 同時 我們 又 證明 在 類似 我們 的 宇宙 裡 ， 這 種 肥皂膜 不可能 存在 ， 因為 它 的 曲率 性質 互相 牴觸 。 於是 從 非正總質量 的 前提 ， 導出 了 重大 的 矛盾 ， 因此 前提 必然 不 正確 ， 總質量 （ 或 總能量 ） 必定 是 正 的 。 就 這樣 ， 我們 在 1979年 提出 了 證明 ， 如 物理學家 葛洛克 所 期望 的 解決 了 這 個 問題 。 孫 理察 和 我 把 研究 過程 拆成 兩 部分