上述 這些 複雜 要求 的 空間 ， 在 數學 上 和 幾何 上 是 可能 存在 的 。 對 我 而言 ， 這樣 的 空間 猶如 鑽石 般 稀有 ， 而 卡拉比 猜想 提供 了 找到 它們 的 地圖 。 如果 你 知道 如何 在 一流形 上 解出 該 方程 ， 而且 能 瞭解 該 方程 的 整體 結構 ， 那麼 你 就 可以 在 合乎 該 條件 的 「 所有 」 凱勒 流形 上 ， 使用 相同 方法 來 解出 此 方程 。 卡拉比 猜想 提供 了 普遍 的 法則 ， 告訴 我們 「 鑽石 」 的確 在 那兒 ， 我們 尋找 的 特殊 度量 確實 存在 。 即使 看 不 到 它 璀璨 的 全貌 ， 仍然 可以 確信 它 是 真品 。 所以 在 數學 理論 中 ， 這 個 問題 猶如 珍貴 的 寶石 ， 或者 也 可 說 是 未 琢 的 璞玉 。 從 這裡 產生出 我 最 為 人 熟知 的 成果 ， 這 甚至 可 說 是 我 的 天職 。 不論 大家 的 工作 崗位 是 什麼 ， 每 個 人 都 希望 能 找到 真正 的 人生 使命 ， 自己 來到 這 世上 的 真正 目的 。 對 演員 來 說 ， 那 可能 是 飾演 《 慾望 街車 》 （ A Streetcar Named Desire ） 裡 的 史丹利‧科瓦斯基 ， 或是 《 哈姆雷特 》 中 的 主角 。 對於 消防員 ， 那 可能 是 撲滅 一 場 超級 大火 。 如果 是 執法 人員 ， 那 可能 是 逮捕 頭號 人民 公敵 。 而 在 數學 裡 ， 則 可能 是 找出 那 個 你 命中 註定 要 研究 的 問題 。 又 或許 ， 跟 宿命 毫無 關係 ， 只是 找到 一 個 你 夠 幸運 能 解決 的 重大 題目 。 坦白 說 ， 我 是 一 個 比較 務實 的 人 ， 當 我 選擇 研究 課題 時 ， 從來 不 曾 想 過 「 宿命 」 。 我 或者 是 去 尋找 新 方向 ， 希望 能夠 帶出 一些 日後 證明 具有 重要 意義 的 數學 問題 ； 又 或者 是 挑選 現有 的 問題 ， 以期 在 更 深刻 的 理解 它 之後 ， 能 引導 我們 見到 另 一 個 新 視野 。 存在 已 有 一 、 二十 年 的 卡拉比 猜想 屬於 後者 。 我 在 進 研究所 的 第一 年 就 緊抓住 這 個 題目 ， 不過 有時候 ， 反倒 像是 問題 纏上 了 我 。 在 此 之前 ， 以及 從此 之後 ， 都 不 曾 有 其他 題目 這麼 強烈 引起 我 的 興趣 ， 我 感覺到 它 可以 開啟 一 門 新 的 數學 分支 。 雖然 卡拉比 猜想 隱約 與 龐卡赫 的 經典 猜想 相關 ， 但 我 覺得 它 的 意義 還要 更加 深遠 ， 因為 如果 卡拉比 的 預感 是 對 的 ， 它 將 會 得出 一 大 類 我們 當時 仍 一無所知 的 幾何 空間 ， 甚至 還 可能 帶來 對於 時空 的 新 認識 。 對 我 而言 ， 這 個 猜想 幾乎 是 無法 逃脫 的 ， 在 我 早期 的 曲率 研究 工作 中 ， 不管 哪 一 條 路 最後 都 指向 卡拉比 猜想 。 預備 知識 ─ 複流形 在 討論 證明 之前 ， 我們 得 先 介紹 一下 其中 涉及 的 幾 個 觀念 。 卡拉比 猜想 所 討論 的 是 複流形 的 問題 ， 前面 已經 說 過 ， 複流形 是 一 種 曲面 或 空間 ， 但 和 我們 熟悉 的 二 維 曲面 不同 的 是 ， 這些 「 曲面 」 並 不僅 限於 二 維 ， 而 可以 是 任何 偶數 維度 。 （ 只有 複流形 才 有 偶數 維度 的 限制 ， 一般 的 流形 可以 是 任何 維度 ， 不論 奇偶 。 ） 根據 定義 ， 流形 在 小 規模 或 局部 的 尺度 時 ， 和 歐氏 空間 很 相像 ， 但 在 大 尺度 或 所謂 的 大域 尺度 時 則 可能 極為 不同 。 舉例 來 說 ， 圓 是 一 維 流形 ， 在 圓 上 任意 選擇 一點 ， 它 的 「 鄰近 區域 」 ， 看起來 都 像是 線段 。 但 如果 整體 來 看 ， 圓 和 直線 就 完全 不同 了 。 再 往 上 一 個 維度 ， 我們 所 居住 的 地球 表面 （ 球面 ） 是 一 個 二維 流形 ， 儘管 我們 深知 地球 表面 整體 是 彎曲 的 ， 和 歐氏 平面 完全 不同 ， 但是 如果 你 只 看 地表 上 一 片 夠 小 的 面積 ， 卻 像是 完全 平坦 的 ， 看起來 就 像 平面 的 一 部分 或 圓盤 。 我們 得 要 看到 大 很多 的 區域 ， 與 歐氏 空間 的 差別 才 會 明顯 呈現出來 ， 此時 就 得 用 曲率 加以 校正 。 流形 的 一 項 重要 性質 是 「 光滑性 」 （ smoothness ） ， 這 是 依照 流形 定義 本來 就 具備 的 。 如果 某 一 空間 的 任何 一 小 塊 局部 區域 看起來 都 像 歐氏 空間 ， 那麼 它 整體 就 必須 是 光滑 的 。 不過 ， 即使 一 個 空間 在 某些 點 出現 奇怪 的 現象 ， 局部 上 不 像 歐氏 空間 ， 但 有時 幾何學家 仍 會 推 而 廣 之 ， 稱 之 為 光滑 的 流形 。 例如 ， 一 個 線狀 形體 如果 局部 上 出現 兩 線 相交 的 情況 ， 那 無論 你 圍 著 相交點 圈出 的 鄰近 區域 再 怎麼 小 ， 兩 線 相交 所 形成 的 十字 永遠 都 存在 。 這樣 的 點 永遠 沒辦法 真正 變 得 光滑 ， 因此 我們 稱 之 為 「 拓樸 奇點 」 （ topological singularity ） 。 同理 ， 在 二維 時 ， 你 也 可以 想像 奇點 長 得 像 兩 平面 相交 於 一 線 的 情形 。 這 種 情形 在 黎曼 幾何 是 司空見慣 的 。 假設 從 一 個 已 知 如何 處理 的 光滑 形體 開始 ， 當 我們 逐漸 往 極限 的 狀況 推進 時 ， 例如 把 一 個 形體 捏 得 愈來愈 尖 ， 或是 把 一 道 彎痕 摺 得 愈來愈 銳利 ， 就 會 產生 奇點 。 幾何學家 並 不 是 頑固 保守 的 人 ， 即使 一 個 空間 有 無窮 多 個 奇點 ， 在 我們 眼 中 有時 仍然 可以 算是 一 種 流形 ， 稱為 奇點 空間 或 奇 點 流形 ， 這些 空間 經常 出現 在 正常 光滑 流形 的 極限 情況 。 以上 是 流形 的 簡單 說明 ， 接下來 我們 要 解釋 複 空間 的 「 複 」 是 怎麼 回 事 。 所謂 複流形 是 以 複數 表示 的 曲面 或 空間 。 複數 是 形 如 a + bi 的 數 ， 其中 a , b 為 實數 ， i 是 「 虛數 單位 」 ， 定義為 1 的 平方根 。 就 像 寫成 __UNDEF__ （ x , y ） __UNDEF__ 的 數 對 可以 畫 在 有 x , y 兩 坐 標軸 的 平面 上 ， 寫成 a + bi 的 複數 也 可以 畫 在 有 實軸 和 虛軸 的 平面 上 。 複數 是 一 種 很 有用 的 數 。 原因 之 一 是 有時候 需要 對 負數 開 平方 。 一旦