， 但是 如果 你 只 看 地表 上 一 片 夠 小 的 面積 ， 卻 像是 完全 平坦 的 ， 看起來 就 像 平面 的 一 部分 或 圓盤 。 我們 得 要 看到 大 很多 的 區域 ， 與 歐氏 空間 的 差別 才 會 明顯 呈現出來 ， 此時 就 得 用 曲率 加以 校正 。 流形 的 一 項 重要 性質 是 「 光滑性 」 （ smoothness ） ， 這 是 依照 流形 定義 本來 就 具備 的 。 如果 某 一 空間 的 任何 一 小 塊 局部 區域 看起來 都 像 歐氏 空間 ， 那麼 它 整體 就 必須 是 光滑 的 。 不過 ， 即使 一 個 空間 在 某些 點 出現 奇怪 的 現象 ， 局部 上 不 像 歐氏 空間 ， 但 有時 幾何學家 仍 會 推 而 廣 之 ， 稱 之 為 光滑 的 流形 。 例如 ， 一 個 線狀 形體 如果 局部 上 出現 兩 線 相交 的 情況 ， 那 無論 你 圍 著 相交點 圈出 的 鄰近 區域 再 怎麼 小 ， 兩 線 相交 所 形成 的 十字 永遠 都 存在 。 這樣 的 點 永遠 沒辦法 真正 變 得 光滑 ， 因此 我們 稱 之 為 「 拓樸 奇點 」 （ topological singularity ） 。 同理 ， 在 二維 時 ， 你 也 可以 想像 奇點 長 得 像 兩 平面 相交 於 一 線 的 情形 。 這 種 情形 在 黎曼 幾何 是 司空見慣 的 。 假設 從 一 個 已 知 如何 處理 的 光滑 形體 開始 ， 當 我們 逐漸 往 極限 的 狀況 推進 時 ， 例如 把 一 個 形體 捏 得 愈來愈 尖 ， 或是 把 一 道 彎痕 摺 得 愈來愈 銳利 ， 就 會 產生 奇點 。 幾何學家 並 不 是 頑固 保守 的 人 ， 即使 一 個 空間 有 無窮 多 個 奇點 ， 在 我們 眼 中 有時 仍然 可以 算是 一 種 流形 ， 稱為 奇點 空間 或 奇 點 流形 ， 這些 空間 經常 出現 在 正常 光滑 流形 的 極限 情況 。 以上 是 流形 的 簡單 說明 ， 接下來 我們 要 解釋 複 空間 的 「 複 」 是 怎麼 回 事 。 所謂 複流形 是 以 複數 表示 的 曲面 或 空間 。 複數 是 形 如 a + bi 的 數 ， 其中 a , b 為 實數 ， i 是 「 虛數 單位 」 ， 定義為 1 的 平方根 。 就 像 寫成 __UNDEF__ （ x , y ） __UNDEF__ 的 數 對 可以 畫 在 有 x , y 兩 坐 標軸 的 平面 上 ， 寫成 a + bi 的 複數 也 可以 畫 在 有 實軸 和 虛軸 的 平面 上 。 複數 是 一 種 很 有用 的 數 。 原因 之 一 是 有時候 需要 對 負數 開 平方 。 一旦 有 了 複數 ， 二 次 方程式 ax2 + bx + c = 0 ， 不管 a , b , c 值 為 何 ， 都 必定 有解 。 利用 國中 學 過 的 公式 ， 可以 得到 ： 如果 允許 有 複數 ， 當 遇到 b2－4ac 為 負數 時 ， 你 就 不會 束手無策 ， 方程式 仍然 可 解 。 在 解 多項式 方程式 （ 也 就 是 涉及 一 或 多 個 變數 和 常數 的 方程式 ） 的 時候 ， 複數 不但 很 重要 ， 有時 甚至 是 不可或缺 的 。 許多 問題 的 目標 是 求 方程式 的 根 ， 也 就 是 找出 多項式 等於 零 的 點 。 如果 沒有 複數 ， 有些 求 根 問題 就 沒有 解 ， 最 簡單 的 例子 是 x2 + 1 = 0 ， 這 個 方程式 沒有 實數 解 。 只有 在 允許 複數 時 ， 我們 才 能 得到 x = i 和 x =i 這 兩 個 解 。 複數 對於 理解 波動 行為 ， 尤其 是 波 的 相位 時 十分 重要 。 兩 個 振幅 和 頻率 相同 的 波 ， 可以 是 同相 的 ， 此時波型 疊合 ， 波 的 振幅 會 加大 ， 產生 建設性 干涉 ； 或者 當 兩 個 波 是 異相 時 ， 振幅 會 部分 或 全部 抵消 ， 因此 產生 破壞性 干涉 。 而 當 把 波表成 複數 時 ， 我們 只要 把 這些 複數 相加 或 相乘 ， 就 可以 看到 干涉 時 相位 和 振幅 所 發生 的 變化 。 （ 當然 不用 複數 也 仍然 能 做 計算 ， 但是 會 麻煩 很多 。 這 就 像 以 地球 為 中心 來 計算 太陽系 各 行星 的 運動 ， 雖然 可以 計算 ， 但 如果 以 太陽 作為 參考系 的 中心 ， 式子 不但 大幅 簡化 ， 而且 優美 多 了 。 ） 因此 ， 複數 能夠 描述 波 的 價值 ， 使得 它 在 物理學 中 十分 重要 。 在 量子 力學 裡 ， 自然界 的 粒子 都 可以 被 描述成 波 ， 而 量子論 本身 又 是 任何 量子 重力 論 （ 一 種 試圖 包納 一切 的 萬有 理論 ） 的 基本 構成 要素 。 對於 這樣 的 目標 ， 以 複數 來 描述 波 的 做法 顯然 大有 裨益 。 我們 目前 知道 的 第一 個 涉及 複數 的 計算 ， 出現 在 義大利 數學家 卡達諾 （ Girolamo Cardano ） 出版 於 1545年 的 著作 中 。 但是 直到 三百 年 之後 ， 複 幾何 才 成為 一 門 重要 的 領域 。 真正 把 複 幾何 推上 舞台 的 是 黎曼 ， 他 是 最早 認真 檢視 複流形 的 數學家 ， 而 他 所 研究 的 複流形 現在 就 被 稱為 「 黎曼面 」 。 附帶 一 提 ， 在 黎曼 去世 一 個 世紀 後 出現 的 弦論 中 ， 黎曼面 變 得 很 重要 。 當弦論 的 基本 單位 ， 一 小 圈 的 弦 ， 在 高維 時空 中 移動 時 ， 它 所 掃過 的 就 是 黎曼面 。 在弦論 的 計算 中 黎曼面 確實 非常 有用 ， 因而 成為 現今 理論 物理學 裡 研究 得 最 透徹 的 曲面 。 而 從 物理 得出 的 方程式 又 激發 了 數學 的 進展 ， 因而 黎曼面 的 理論 本身 ， 也 從 它 和 物理學 的 關係 獲益 良多 。 黎曼面 和 一般 二維 流形 一樣 ， 也 是 光滑 的 ， 但 因為 它 是 能 以 複數 描述 的 曲面 （ 複數 一 維 ） ， 所以 還 多 了 一些 內在 的 結構 。 一 個 實曲面 不見得 有 、 但 在 黎曼面 會 自動 出現 的 性質 是 ， 曲面 的 每 一 個 小 範圍 都 會 以 特定 方式 和 它 的 鄰近 區域 相關 。 如果 你 取 一 小 塊 彎曲 的 黎曼面 把 它 投影到 平坦面 上 ， 並且 對 鄰近 的 小 塊 曲面 也 做 同樣 的 投影 ， 結果 就 是 一 幅 地圖 ， 就 如同 用 二維 的 世界 地圖 來 呈現 地球 表面 一樣 。 當 製作出 這 幅 黎曼面 的 地圖 時 ， 地圖 上 各 點 間 的 距離 會 被 扭曲 ， 但 兩 線 之間 的 夾角 卻 可以 維持 不變 。 源自於 十六世紀 的 麥卡托 投影 地圖 ， 就是 依據 相同 的 想法 ， 把 地表 看成 是 一 個 圓柱面 ， 而 非 球面 。 這 種 維持 角度 不變 的 特徵 稱為 「 保角 映射 」 （ conformal mapping ）