如果 以 太陽 作為 參考系 的 中心 ， 式子 不但 大幅 簡化 ， 而且 優美 多 了 。 ） 因此 ， 複數 能夠 描述 波 的 價值 ， 使得 它 在 物理學 中 十分 重要 。 在 量子 力學 裡 ， 自然界 的 粒子 都 可以 被 描述成 波 ， 而 量子論 本身 又 是 任何 量子 重力 論 （ 一 種 試圖 包納 一切 的 萬有 理論 ） 的 基本 構成 要素 。 對於 這樣 的 目標 ， 以 複數 來 描述 波 的 做法 顯然 大有 裨益 。 我們 目前 知道 的 第一 個 涉及 複數 的 計算 ， 出現 在 義大利 數學家 卡達諾 （ Girolamo Cardano ） 出版 於 1545年 的 著作 中 。 但是 直到 三百 年 之後 ， 複 幾何 才 成為 一 門 重要 的 領域 。 真正 把 複 幾何 推上 舞台 的 是 黎曼 ， 他 是 最早 認真 檢視 複流形 的 數學家 ， 而 他 所 研究 的 複流形 現在 就 被 稱為 「 黎曼面 」 。 附帶 一 提 ， 在 黎曼 去世 一 個 世紀 後 出現 的 弦論 中 ， 黎曼面 變 得 很 重要 。 當弦論 的 基本 單位 ， 一 小 圈 的 弦 ， 在 高維 時空 中 移動 時 ， 它 所 掃過 的 就 是 黎曼面 。 在弦論 的 計算 中 黎曼面 確實 非常 有用 ， 因而 成為 現今 理論 物理學 裡 研究 得 最 透徹 的 曲面 。 而 從 物理 得出 的 方程式 又 激發 了 數學 的 進展 ， 因而 黎曼面 的 理論 本身 ， 也 從 它 和 物理學 的 關係 獲益 良多 。 黎曼面 和 一般 二維 流形 一樣 ， 也 是 光滑 的 ， 但 因為 它 是 能 以 複數 描述 的 曲面 （ 複數 一 維 ） ， 所以 還 多 了 一些 內在 的 結構 。 一 個 實曲面 不見得 有 、 但 在 黎曼面 會 自動 出現 的 性質 是 ， 曲面 的 每 一 個 小 範圍 都 會 以 特定 方式 和 它 的 鄰近 區域 相關 。 如果 你 取 一 小 塊 彎曲 的 黎曼面 把 它 投影到 平坦面 上 ， 並且 對 鄰近 的 小 塊 曲面 也 做 同樣 的 投影 ， 結果 就 是 一 幅 地圖 ， 就 如同 用 二維 的 世界 地圖 來 呈現 地球 表面 一樣 。 當 製作出 這 幅 黎曼面 的 地圖 時 ， 地圖 上 各 點 間 的 距離 會 被 扭曲 ， 但 兩 線 之間 的 夾角 卻 可以 維持 不變 。 源自於 十六世紀 的 麥卡托 投影 地圖 ， 就是 依據 相同 的 想法 ， 把 地表 看成 是 一 個 圓柱面 ， 而 非 球面 。 這 種 維持 角度 不變 的 特徵 稱為 「 保角 映射 」 （ conformal mapping ） ， 它 能 幫助 船隻 維持 在 正確 航路 上 ， 所以 在 數 世紀 前 的 航海 非常 重要 。 保角 映射 有助於 簡化 黎曼面 的 計算 ， 使得 我們 能夠 證明 這些 曲面 的 一些 性質 ， 而 這 是 在 一般 實曲面 上 無法 證明 的 。 最後 ， 黎曼面 和 一般 曲面 不同 ， 一定 是 可 賦向 的 ， 意思 是 不管 在 空間 何處 ， 測量 方向 的 方式 ， 亦即 選擇 的 參考 坐標 ， 都 能 保持 方向 的 一致性 。 （ 這 和 莫比烏斯帶 的 情形 不同 。 莫比烏斯帶 是 典型 的 不可 賦向 曲面 ， 當 你 繞行 一 圈 回到 出發點 時 ， 方向 會 顛倒 ， 上 變成 下 或者 左 變成 右 ； 順時針 的 方向 變成 逆時針 的 方向 。 ） 當 你 在 黎曼面 上 ， 任何 一 點 只有 在 很 小 的 鄰近 區域 時 才 像是 歐氏 空間 ， 因此 從 一點 移動到 另 一 點 時 ， 不可 避免 地 必須 更動 所 取 的 坐標系 。 但是 這些 小 塊 區域 必須 以 正確 的 方式 整合 起來 ， 才 能 使得 移動 時 能 保持 角度 不變 。 這 正 是 這樣 的 運動 或者 「 變換 」 稱為 「 保角 」 的 原因 。 當然 ， 複流形 可以 有 更 高 的 維度 ， 黎曼面 只 是 其中 的 複一 維 版本 而已 。 但 不管 維度 的 多寡 ， 流形 上 的 各 個 小 塊 區域 仍然 必須 以 適當 的 方式 拼接起來 ， 才 能 符合 複流形 的 條件 。 只 是 ， 對於 高維 的 複流形 ， 從 一 塊 區域 移動到 另 一 塊 區域 ， 或是 從 一 個 坐標系 移動到 另 一 坐標系 的 時候 ， 變換 並 不一定 能 保持 角度 。 因此 嚴格 來 說 ， 這些 變換 並 不 是 保角 變換 ， 但 仍然 是 一 維 情形 的 推廣 。 預備 知識 ─ 流形 上 的 度量 卡拉比 所 設想 的 空間 不 只 是 複流形 ， 同時 還 必須 具有 一 種 稱為 「 凱勒 幾何 」 （ Kähler geometry ， 名稱 來自於 德國 數學家 凱勒 〔 Erich Kähler 〕 ） 的 特殊 性質 。 黎曼面 自動 符合 凱勒 幾何 性質 的 要求 ， 所以 這 個 條件 的 真正 意義 ， 只 在 複二 維 以上 的 複流形 才 會 顯現出來 。 在 凱勒 流形 裡 ， 空間 在 單一點 上 看來 像是 歐氏 空間 ， 而 當 你 在 偏離 該 點 時 ， 空間 仍然 會 很 接近 歐氏 空間 ， 但 會 以 一 種 特定 的 方式 偏移 。 更 精確 一點 說 ， 是 看起來 像 「 複歐氏 空間 」 ， 而 不 是 單純 的 古典 歐氏 空間 ， 這 意味 著 空間 的 維數 必須 是 偶數 ， 而且 具有 以 複數 表示 的 坐標值 。 這 個 區分 很 重要 ， 因為 只有 在 複流形 上 才 能 談 凱勒 幾何 的 性質 ， 而 凱勒 幾何 又 讓 我們 可以 用 複數 來 計算 距離 。 凱勒 條件 提示 了 該 空間 與 歐氏 空間 相近 的 程度 ， 而且 這 個 標準 和 曲率 並 沒有 嚴格 的 關係 。 要 把 一 個 流形 與 歐氏 空間 的 相近 程度 予以 量化 ， 需要 知道 這 個 流形 的 度量 。 在 所有 坐標軸 彼此 垂直 的 平坦 空間 上 ， 計算 距離 只 需要 用到 畢氏 定理 。 但 在 坐 標軸 並 不 必然 垂直 的 彎曲 空間 中 ， 事情 就 比較 複雜 ， 必須 修正 公式 。 此時 距離 的 計算 涉及 了 度量 的 係數 ， 這 是 一 組 在 空間 中 隨 位置 不同 、 並且 視坐 標軸 的 取法 而 有所 變化 的 數字 。 坐 標軸 的 取法 不同 ， 度量 的 係數 就 會 跟著 改變 。 因此 ， 度量 係數 本身 的 值 並 不 那麼 要緊 ， 因為 它 就 某 種 意義 來 說 是 很 任意 的 ， 真正 重要 的 是 這些 係數 在 流形 上 如何 隨著 位置 的 改變 而 變化 。 因為 此 一 訊息 透露出 一 個 點 和 其他 點 的 關係 ， 這 涵蓋 了 你 想 知道 的 一切 流形 的 幾何 性質 。 我們 在 前 幾 章 提到 過 ， 四維 空間 需要 十 個 度量 係數 。 四維 的 度量 張量 是 一 個 44 矩陣 ， 所以 其實 總共 有 16 個 數字