小 塊 彎曲 的 黎曼面 把 它 投影到 平坦面 上 ， 並且 對 鄰近 的 小 塊 曲面 也 做 同樣 的 投影 ， 結果 就 是 一 幅 地圖 ， 就 如同 用 二維 的 世界 地圖 來 呈現 地球 表面 一樣 。 當 製作出 這 幅 黎曼面 的 地圖 時 ， 地圖 上 各 點 間 的 距離 會 被 扭曲 ， 但 兩 線 之間 的 夾角 卻 可以 維持 不變 。 源自於 十六世紀 的 麥卡托 投影 地圖 ， 就是 依據 相同 的 想法 ， 把 地表 看成 是 一 個 圓柱面 ， 而 非 球面 。 這 種 維持 角度 不變 的 特徵 稱為 「 保角 映射 」 （ conformal mapping ） ， 它 能 幫助 船隻 維持 在 正確 航路 上 ， 所以 在 數 世紀 前 的 航海 非常 重要 。 保角 映射 有助於 簡化 黎曼面 的 計算 ， 使得 我們 能夠 證明 這些 曲面 的 一些 性質 ， 而 這 是 在 一般 實曲面 上 無法 證明 的 。 最後 ， 黎曼面 和 一般 曲面 不同 ， 一定 是 可 賦向 的 ， 意思 是 不管 在 空間 何處 ， 測量 方向 的 方式 ， 亦即 選擇 的 參考 坐標 ， 都 能 保持 方向 的 一致性 。 （ 這 和 莫比烏斯帶 的 情形 不同 。 莫比烏斯帶 是 典型 的 不可 賦向 曲面 ， 當 你 繞行 一 圈 回到 出發點 時 ， 方向 會 顛倒 ， 上 變成 下 或者 左 變成 右 ； 順時針 的 方向 變成 逆時針 的 方向 。 ） 當 你 在 黎曼面 上 ， 任何 一 點 只有 在 很 小 的 鄰近 區域 時 才 像是 歐氏 空間 ， 因此 從 一點 移動到 另 一 點 時 ， 不可 避免 地 必須 更動 所 取 的 坐標系 。 但是 這些 小 塊 區域 必須 以 正確 的 方式 整合 起來 ， 才 能 使得 移動 時 能 保持 角度 不變 。 這 正 是 這樣 的 運動 或者 「 變換 」 稱為 「 保角 」 的 原因 。 當然 ， 複流形 可以 有 更 高 的 維度 ， 黎曼面 只 是 其中 的 複一 維 版本 而已 。 但 不管 維度 的 多寡 ， 流形 上 的 各 個 小 塊 區域 仍然 必須 以 適當 的 方式 拼接起來 ， 才 能 符合 複流形 的 條件 。 只 是 ， 對於 高維 的 複流形 ， 從 一 塊 區域 移動到 另 一 塊 區域 ， 或是 從 一 個 坐標系 移動到 另 一 坐標系 的 時候 ， 變換 並 不一定 能 保持 角度 。 因此 嚴格 來 說 ， 這些 變換 並 不 是 保角 變換 ， 但 仍然 是 一 維 情形 的 推廣 。 預備 知識 ─ 流形 上 的 度量 卡拉比 所 設想 的 空間 不 只 是 複流形 ， 同時 還 必須 具有 一 種 稱為 「 凱勒 幾何 」 （ Kähler geometry ， 名稱 來自於 德國 數學家 凱勒 〔 Erich Kähler 〕 ） 的 特殊 性質 。 黎曼面 自動 符合 凱勒 幾何 性質 的 要求 ， 所以 這 個 條件 的 真正 意義 ， 只 在 複二 維 以上 的 複流形 才 會 顯現出來 。 在 凱勒 流形 裡 ， 空間 在 單一點 上 看來 像是 歐氏 空間 ， 而 當 你 在 偏離 該 點 時 ， 空間 仍然 會 很 接近 歐氏 空間 ， 但 會 以 一 種 特定 的 方式 偏移 。 更 精確 一點 說 ， 是 看起來 像 「 複歐氏 空間 」 ， 而 不 是 單純 的 古典 歐氏 空間 ， 這 意味 著 空間 的 維數 必須 是 偶數 ， 而且 具有 以 複數 表示 的 坐標值 。 這 個 區分 很 重要 ， 因為 只有 在 複流形 上 才 能 談 凱勒 幾何 的 性質 ， 而 凱勒 幾何 又 讓 我們 可以 用 複數 來 計算 距離 。 凱勒 條件 提示 了 該 空間 與 歐氏 空間 相近 的 程度 ， 而且 這 個 標準 和 曲率 並 沒有 嚴格 的 關係 。 要 把 一 個 流形 與 歐氏 空間 的 相近 程度 予以 量化 ， 需要 知道 這 個 流形 的 度量 。 在 所有 坐標軸 彼此 垂直 的 平坦 空間 上 ， 計算 距離 只 需要 用到 畢氏 定理 。 但 在 坐 標軸 並 不 必然 垂直 的 彎曲 空間 中 ， 事情 就 比較 複雜 ， 必須 修正 公式 。 此時 距離 的 計算 涉及 了 度量 的 係數 ， 這 是 一 組 在 空間 中 隨 位置 不同 、 並且 視坐 標軸 的 取法 而 有所 變化 的 數字 。 坐 標軸 的 取法 不同 ， 度量 的 係數 就 會 跟著 改變 。 因此 ， 度量 係數 本身 的 值 並 不 那麼 要緊 ， 因為 它 就 某 種 意義 來 說 是 很 任意 的 ， 真正 重要 的 是 這些 係數 在 流形 上 如何 隨著 位置 的 改變 而 變化 。 因為 此 一 訊息 透露出 一 個 點 和 其他 點 的 關係 ， 這 涵蓋 了 你 想 知道 的 一切 流形 的 幾何 性質 。 我們 在 前 幾 章 提到 過 ， 四維 空間 需要 十 個 度量 係數 。 四維 的 度量 張量 是 一 個 44 矩陣 ， 所以 其實 總共 有 16 個 數字 。 但是 度量 張量 會 沿著 從 左上 到 右下 的 對角線 對稱 ， 即 除了 對角線 本身 的 四 個數 ， 在 它 兩 邊 各 有 一 組 彼此 相同 的 數字 ， 每 組 六 個數 。 由於 這 個 對稱 性質 ， 我們 需要 考慮 的 只 有 十 個 數 （ 對角線 四 個 ，線 的 兩 邊 各 是 相同 的 六 個 ） ， 而 不 是 16 個數 。 但 我們 還 沒 解釋 度量 是 如何 運作 的 。 讓 我們 以 一 個 相對 簡單 的 例子 來 說明 ， 這 是 實二維 或 複一維 的 例子 ： 單位 圓盤 上 的 龐卡赫 度量 （ Poincaré metric ） 。 單位 圓盤 是 滿足 不等式 x2 + y2 < 1 的 所有點 __UNDEF__ （ x , y ） __UNDEF__ 所 構成 的 集合 ， 也 就 是 以 原點 為 圓心 ， 半徑 為 1 的 圓 的 內部 。 這 在 術語 裡 叫做 「 開 」 單位 圓盤 ， 因為 它 並 不 包括 圓周 ， 亦即 由 等式 x2 + y2 = 1 所 定義 的 單位 圓 。 如果 你 將 單位 圓盤 想成 平面 的 一 部分 ， 使用 普通 測量 距離 的 度量 方式 （ 也 就 是 畢氏 定理 ） ， 那麼 這 就 只 是 高中 解析 幾何 的 普通 題材 。 因此 重點 是 ， 我們 要 在 這 個 圓盤 上 提供 一 個 全新 的 度量 方式 ， 稱為 龐卡赫 度量 。 因為 圓盤 是 二維 ， 龐卡赫 度量 的 度量 張量 是 一 個 22 矩陣 。 矩陣 中 的 每 個 位置 是 一 個 寫成 Gij 形式 的 係數 ， 其中 i 代表列 ， j 代表行 。 這 個 矩陣 看來 像 這樣 ： 由於 前面 提到 過 的 對稱 關係 ， G12 等於 G21 ， 而 另外 兩 個 對角線 上 的 數 G11 、 G22 則 不一定 相同 。 不過 依照 龐卡赫 度量 的 定義 ， 兩 個 非 對角線 的 係數 是 零 ， 而且 G11 等於 G22 ， 兩 者 都 等於 對